Reconstruction Theorems

代数的あるいは幾何学的対象に対し, 圏を対応させることで, その対象を調べることは, よく行なわれる。 例えば, 群に対しその 表現の成す圏とか, scheme に対し quasi-coherent sheaf の成す圏とか。 そのような圏から元の対象を復元できることもあり, そのような定理を reconstruction theorem と呼んだりする。

群の場合, Tannaka-Krein duality とその一般化がある。

• Tannaka-Krein duality
• Doplicher-Roberts reconstruction theorem

Scheme の reconstruction については, Brandenburg の [Brab] の section 1.1 をまず見てみるのが良いと思う。

• Gabriel’s reconstruction theorem for noetherian schemes [Gab62]
• Rosenberg’s reconstruction theorems [Rosa; Ros98; Rosb]

Rosenberg の仕事については Brandenburg の解説 [Braa] がある。

これらは, quasi-coherent sheaf の category からの reconstruction であるが, その derived category からの reconstruction も考えられている。単に triangulated category と見るのではなく, monoidal category の構造も合せて考えるとよい, というのが Balmer の発見である。

• tensor triangular geometry

Stack の場合は, Lurie [Lur] により考えられている。

References

[Braa]

Martin Brandenburg. Rosenberg’s Reconstruction Theorem (after Gabber). arXiv: 1310.5978.

[Brab]

Martin Brandenburg. Tensor categorical foundations of algebraic geometry. arXiv: 1410.1716.

[Gab62]

Pierre Gabriel. “Des catégories abéliennes”. In: Bull. Soc. Math. France 90 (1962), pp. 323–448.

[Lur]

Jacob Lurie. Tannaka Duality for Geometric Stacks. arXiv: math/0412266.

[Rosa]

Alexander L. Rosenberg. Reconstruction of Schemes. url: http://www.mpim-bonn.mpg.de/preblob/3948.

[Rosb]

Alexander L. Rosenberg. Spectra of ‘spaces’ represented by abelian categories. url: http://www.mpim-bonn.mpg.de/preblob/2544.

[Ros98]

Alexander L. Rosenberg. “The spectrum of abelian categories and reconstruction of schemes”. In: Rings, Hopf algebras, and Brauer groups (Antwerp/Brussels, 1996). Vol. 197. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. New York: Dekker, 1998, pp. 257–274.