有限群のコホモロジー

有限群のコホモロジーについては, まず Adem と Milgram の本 [AM04] がある。Adem の解説 [Ade07] もある。

自分の手で計算してみるのなら, まず最初は巡回群のコホモロジーから始めるべきだろう。 Abel群の基本定理と Künneth の定理より, 素数巾位数の巡回群だけ考えればよい。

• 素数 \(p\) に対し, 位数 \(p\) の巡回群の mod \(p\) コホモロジー
• 素数 \(p\) に対し, 位数 \(p^n\) の 巡回群の mod \(p\) コホモロジーとその上の高次 Bockstein作用素

巡回群が分かったら, 次は二面体群 (dihedral group) \(D_{8}\) と四元数群 \(Q_{8}\) だろう。

• \(D_{8}\) の mod \(2\) cohomology
• \(Q_{8}\) の mod \(2\) cohomology

Steenrod 作用素との関連で, 代数的トポロジーを勉強する上で重要なのは, 巡回群と対称群のコホモロジーである。

• 素数 \(p\) に対し, \(p\)次の対称群の mod \(p\) コホモロジー

Steenrod 代数上の module として elementary Abelian \(p\)-group のコホモロジーは重要な性質を持つ。

• Elementary Abelian \(p\)-group の mod \(p\) cohomology は Steenrod algebra 上の injective module である。[Lan92]

\(\F _{p}\) 係数のコホモロジーに関していえば, elementary Abelian \(p\)-group は, Lie群の場合の maximal torus のような役割もある。 それを正確に述べたのが Quillen の \(\mathcal{F}\)-isomorphism theorem [Qui71] である。

• Quillen の \(\mathcal{F}\)-isomorphism theorem

Mathew と Naumann と Noel [MNN] によると, これはより正確には \(G\)-module の成す derived category での \(\otimes \)-thick ideal に関する事実 の系とみなすべきもののようである。そこでは Carlson の [Car00] と Balmer の [Bal] が参照されている。Mathew らは, それを equivariant stable homotopy category で考えようとしている。

最近は computer を用いた計算も行なわれている。Jon Carlson の [Car01] などである。Carlson 達の本 [Car+03] や Green の [Gre03] がある。 Carlson 達の結果 (\(2\)-group のコホモロジーの計算) は web でも公開されている。Carlson による解説が AMS Notices [Car05] にある。Guillot [Gui10] は, Stiefel-Whitney class や Steenrod operation なども計算している。

Ellis らによる試み [Ell04]もある。具体的な計算としては, Mathieu 群の場合 [DE09] などがあるが, それには有限群の Euclid 空間への線形作用からできる, 凸多面体が使われていて興味深い。 そこでは Wythoff construction という多面体に対する構成が使われている。その方法については, Ellis と Harris と Skoldberg の [EHS06] に書かれている。

有限群の一般(コ)ホモロジーは, 分類空間の(コ)ホモロジーとして定義する。 具体的な計算も色々行なわれているが, 巡回群の場合でも結構面倒である。 Morava \(K\)-theory の場合だと, 例えば, Ravenel と Wilson の [RW80] にある。

一般的な性質として, まず知っておくべきなのが, Atiyah の [Ati61] による \(K\)-theory と表現の関係であり, その Hopkins と Kuhn と Ravenel による一般化 [HKR00] だろう。

Cheng が [Che] で言っているように, 有限群の Morava \(K\)-theory がある種の duality をみたすのは興味深い事実であり, これを Poincaré duality の類似とみなすのは自然である。まず Ravenel の [Rav82] により, 有限群の分類空間の Morava \(K\)-theory は係数環上有限次元であり, 更に Greenlees と Sadofsky [GS96] により, \(K(n)\)-homology と \(K(n)\)-cohomology の間に duality があることが示されているのである。 つまり \(BG\) が “finite dimensional \(K(n)\)-orientable manifold” のように振る舞うのである。

References

[Ade07]

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[AM04]

Alejandro Adem and R. James Milgram. Cohomology of finite groups. Second. Vol. 309. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Berlin: Springer-Verlag, 2004, pp. viii+324. isbn: 3-540-20283-8.

[Ati61]

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[Bal]

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[Car00]

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[Car01]

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[EHS06]

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[Gre03]

David J. Green. Gröbner bases and the computation of group cohomology. Vol. 1828. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2003, pp. xii+138. isbn: 3-540-20339-7.

[GS96]

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[Gui10]

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[HKR00]

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[Lan92]

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[MNN]

Akhil Mathew, Niko Naumann, and Justin Noel. Nilpotence and descent in equivariant stable homotopy theory. arXiv: 1507.06869.

[Qui71]

Daniel Quillen. “The spectrum of an equivariant cohomology ring. I, II”. In: Ann. of Math. (2) 94 (1971), 549–572, ibid. (2) 94 (1971), 573–602. url: https://doi.org/10.2307/1970770.

[Rav82]

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[RW80]

Douglas C. Ravenel and W. Stephen Wilson. “The Morava \(K\)-theories of Eilenberg-Mac Lane spaces and the Conner-Floyd conjecture”. In: Amer. J. Math. 102.4 (1980), pp. 691–748. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374093.