ホモロジー作用素

Kudo と Araki [KA56b; KA56a], そして Dyer と Lashof [DL62] は, 多重ループ空間の mod \(p\) homology を記述するために, コホモジーの Steenrod 作用素とよく似た「ホモロジー作用素」を導入した。 Kudo と Araki が \(p=2\) の場合, Dyer と Lashof が奇素数の場合である。 彼等の作用素は, まとめて Dyer-Lashof 作用素とも呼ばれることが多いが, 本来は Kudo-Araki-Dyer-Lashof 作用素と呼ぶべきだろう。 その後, Browder [Bro60] が導入した, Lie bracket に類似した新たなホモロジー作用素は Browder 作用素と呼ばれている。 コホモロジー作用素のように, Bockstein operation もある。

• Kudo-Araki-Dyer-Lashof operation
• Browder operation
• Bockstein operation

構成については, May の [May70] と Fred Cohen の [CLM76] を見るとよい。

コホモロジー作用素のように Adem relation の類似が成り立つ。 またコホモロジー作用素 (の linear dual) との関係として Nishida relation [Nis68] がある。

• Nishida relation

コホモロジー作用素の Adem relation については, Bullett と Macdonald による formal power series を用いた証明 [BM82] が知られているが, Nishida relationについても, Steiner [Ste83] により formal power series により扱えることが示されている。

具体的な計算については, 球面の多重ループ空間の場合, そしてより一般に \(\Omega ^n\Sigma ^nX\) の形の多重ループ空間の場合は, やはり Fred Cohen の [CLM76] を, 読むべきだろう。

\(\Omega ^n\Sigma ^nX\) の形でない場合としては, 例えば, \(K\)-theory を表現する spectrum に付随する 無限ループ空間の場合を, Priddy [Pri75] と Kochman [Koc73] が計算している。

また, \(K\)-theory は可換な積を持つので, \(O\) や \(U\) や \(\mathrm {BO}\) や \(\mathrm {BU}\) には, それに付随する別の無限ループ空間の構造がある。\(O\) は, 多様体の smooth structure を表わす無限ループ空間であるが, surgery theory では, PL構造などを表わす \(\mathit {PL}\) や \(\mathit {TOP}\) や \(G\) などの無限ループ空間が使われる。 それらのホモロジー作用素についても調べられている。Tsuchiya の [Tsu73] や Fred Cohen の [CLM76] など。

無限ループ空間ではない多重ループ空間の場合, Kudo-Araki-Dyer-Lashof operation の最上位のものは, Fred Cohen の [CLM76] の中での計算により他と少し異なった性質を持つ。

• top operation

この top operation やその Browder operation との関連を理解するためには, restricted Lie algebra とその universal enveloping algebra を勉強し, やはり Fred Cohen の [CLM76] を読むとよい。

• restricted Lie algebra

一般ホモロジーに対しては, ホモロジー作用素の理論を構築するのは容易ではない。 いくつかの 多重ループ空間の一般ホモロジーの計算の試みはあるが。例えば, \(\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty } X\) の場合, McClure の [Bru+86] の中の mod \(p\) \(K\)-theory の計算がある。より古くは Hodgkin [Hod72; Hod74] や Snaith [Sna75], そして Miller と Snaith の [MS82] などがある。最近では, Kashiwabara の [Kas01] など。

McClure の論文が収録されている [Bru+86] は, \(H_{\infty }\)-ring spectrum の理論を構築することを目的としている。簡単に 言えば, \(H_{\infty }\)-structure とは \(E_{\infty }\)-structure から homology operation (power operation) の構成に必要なものを抜き出したものである。

• \(H_{\infty }\)-structure

ところが, 実際に目にするのはほとんど \(E_{\infty }\) 構造を持ったものなので, 本当に \(H_{\infty }\)-structure という概念が必要か, というのは, 誰もが思う疑問である。これに答えるのが, Noel の [Noe] や Tyler Lawson の [Law15] であり, \(E_{\infty }\)-structure に lift しない \(H_{\infty }\)-structure を発見している。

無限ループ空間の場合で, ホモロジー論の係数環が \(\F _p\) 上の algebra になっている場合は, \(D_p(X)=E\Sigma _p\times _{\Sigma _p}X^p\) の計算が必要になる。これについて は, Hunton の [Hun90] などがある。 この \(D_{p}(X)\) は Toda の論文 [Tod68] では extended \(p\)-th power と呼ばれているが, Fred Cohen 先生は \(p\)-adic construction と呼んでいた。

また, Hahn [Hah] はこの構成に基いて, \(H_{\infty }\)-ring spectrum の条件を弱めた \(D_{p}\)-ring spectrum という構造を定義している。

• \(D_{p}\)-ring spectrum

Cosimplicial structure との関連については, Hackney の [Hac14] がある。より正確には, cosimplicial space の homology spectral sequence との関係を調べている。

References

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