ホモロジー作用素

Kudo と Araki [KA56b; KA56a], そして Dyer と Lashof [DL62] は, 多重ループ空間の mod \(p\) homology を記述するために, コホモジーの Steenrod 作用素とよく似た「ホモロジー作用素」を導入した。 Kudo と Araki が \(p=2\) の場合, Dyer と Lashof が奇素数の場合である。 彼等の作用素は, まとめて Dyer-Lashof 作用素とも呼ばれることが多いが, 本来は Kudo-Araki-Dyer-Lashof 作用素と呼ぶべきだろう。 その後, Browder [Bro60] が導入した, Lie bracket に類似した新たなホモロジー作用素は Browder 作用素と呼ばれている。 コホモロジー作用素のように, Bockstein operation もある。

• Kudo-Araki-Dyer-Lashof operation
• Browder operation
• Bockstein operation

構成については, May の [May70] と Fred Cohen の [CLM76] を見るとよい。

コホモロジー作用素のように Adem relation の類似が成り立つ。 またコホモロジー作用素 (の linear dual) との関係として Nishida relation [Nis68] がある。

• Nishida relation

コホモロジー作用素の Adem relation については, Bullett と Macdonald による formal power series を用いた証明 [BM82] が知られているが, Nishida relationについても, Steiner [Ste83] により formal power series により扱えることが示されている。

具体的な計算については, 球面の多重ループ空間の場合, そしてより一般に \(\Omega ^n\Sigma ^nX\) の形の多重ループ空間の場合は, やはり Fred Cohen の [CLM76] を, 読むべきだろう。

\(\Omega ^n\Sigma ^nX\) の形でない場合としては, 例えば, \(K\)-theory を表現する spectrum に付随する無限ループ空間の場合を, Priddy [Pri75] と Kochman [Koc73] が計算している。

また, \(K\)-theory は可換な積を持つので, \(O\) や \(U\) や \(\mathrm{BO}\) や \(\mathrm{BU}\) には, それに付随する別の無限ループ空間の構造がある。\(O\) は, 多様体の smooth structure を表わす無限ループ空間であるが, surgery theory では, PL構造などを表わす \(\mathit{PL}\) や \(\mathit{TOP}\) や \(G\) などの無限ループ空間が使われる。 それらのホモロジー作用素についても調べられている。Tsuchiya の [Tsu73] や Fred Cohen の [CLM76] など。

無限ループ空間ではない多重ループ空間の場合, Kudo-Araki-Dyer-Lashof operation の最上位のものは, Fred Cohen の [CLM76] の中での計算により他と少し異なった性質を持つ。

• top operation

この top operation やその Browder operation との関連を理解するためには, restricted Lie algebra とその universal enveloping algebra を勉強し, やはり Fred Cohen の [CLM76] を読むとよい。

• restricted Lie algebra

一般ホモロジーに対しては, ホモロジー作用素の理論を構築するのは容易ではない。 いくつかの多重ループ空間の一般ホモロジーの計算の試みはあるが。例えば, \(\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty } X\) の場合, McClure の [Bru+86] の中の mod \(p\) \(K\)-theory の計算がある。より古くは Hodgkin [Hod72; Hod74] や Snaith [Sna75], そして Miller と Snaith の [MS82] などがある。最近では, Kashiwabara の [Kas01] など。

McClure の論文が収録されている [Bru+86] は, \(H_{\infty }\)-ring spectrum の理論を構築することを目的としている。簡単に 言えば, \(H_{\infty }\)-structure とは \(E_{\infty }\)-structure から homology operation (power operation) の構成に必要なものを抜き出したものである。

• \(H_{\infty }\)-structure

ところが, 実際に目にするのはほとんど \(E_{\infty }\) 構造を持ったものなので, 本当に \(H_{\infty }\)-structure という概念が必要か, というのは, 誰もが思う疑問である。これに答えるのが, Noel の [Noe] や Tyler Lawson の [Law15] であり, \(E_{\infty }\)-structure に lift しない \(H_{\infty }\)-structure を発見している。

無限ループ空間の場合で, ホモロジー論の係数環が \(\F _p\) 上の algebra になっている場合は, extended \(p\)-th power (あるいは \(p\)-adic construction) \(D_p(X)=E\Sigma _p\times _{\Sigma _p}X^p\) の計算が必要になる。これについて は, Hunton の [Hun90] などがある。

Cosimplicial structure との関連については, Hackney の [Hac14] がある。より正確には, cosimplicial space の homology spectral sequence との関係を調べている。

References

[BM82]

S. R. Bullett and I. G. Macdonald. “On the Adem relations”. In: Topology 21.3 (1982), pp. 329–332. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(82)90015-5.

[Bro60]

William Browder. “Homology operations and loop spaces”. In: Illinois J. Math. 4 (1960), pp. 347–357. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255456051.

[Bru+86]

R. R. Bruner, J. P. May, J. E. McClure, and M. Steinberger. \(H_{\infty }\) ring spectra and their applications. Vol. 1176. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1986, pp. viii+388. isbn: 3-540-16434-0.

[CLM76]

Frederick R. Cohen, Thomas J. Lada, and J. Peter May. The homology of iterated loop spaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 533. Berlin: Springer-Verlag, 1976, pp. vii+490.

[DL62]

Eldon Dyer and R. K. Lashof. “Homology of iterated loop spaces”. In: Amer. J. Math. 84 (1962), pp. 35–88.

[Hac14]

Philip Hackney. “Homology operations and cosimplicial iterated loop spaces”. In: Homology Homotopy Appl. 16.1 (2014), pp. 1–25. arXiv: 1102.0020. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2014.v16.n1.a1.

[Hod72]

Luke Hodgkin. “The \(K\)-theory of some wellknown spaces. I. \(QS^0\)”. In: Topology 11 (1972), pp. 371–375.

[Hod74]

Luke Hodgkin. “Dyer-Lashof operations in \(K\)-theory”. In: New developments in topology (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972). London: Cambridge Univ. Press, 1974, 27–32. London Math. Soc. Lecture Note Ser., No. 11.

[Hun90]

John Hunton. “The Morava \(K\)-theories of wreath products”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 107.2 (1990), pp. 309–318. url: https://doi.org/10.1017/S0305004100068572.

[KA56a]

Tatsuji Kudo and Shôrô Araki. “On \(H_*(\Omega ^{N}(S^{n});\;\Z _2)\)”. In: Proc. Japan Acad. 32 (1956), pp. 333–335.

[KA56b]

Tatsuji Kudo and Shôrô Araki. “Topology of \(H_n\)-spaces and \(H\)-squaring operations”. In: Mem. Fac. Sci. Kyūsyū Univ. Ser. A. 10 (1956), pp. 85–120.

[Kas01]

Takuji Kashiwabara. “On Brown-Peterson cohomology of \(QX\)”. In: Ann. of Math. (2) 153.2 (2001), pp. 297–328. url: https://doi.org/10.2307/2661343.

[Koc73]

Stanley O. Kochman. “Homology of the classical groups over the Dyer-Lashof algebra”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 185 (1973), pp. 83–136. url: https://doi.org/10.2307/1996429.

[Law15]

Tyler Lawson. “A note on \(H_\infty \) structures”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 143.7 (2015), pp. 3177–3181. arXiv: 1311.0796. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2015-12474-4.

[May70]

J. Peter May. “A general algebraic approach to Steenrod operations”. In: The Steenrod Algebra and its Applications (Proc. Conf. to Celebrate N. E. Steenrod’s Sixtieth Birthday, Battelle Memorial Inst., Columbus, Ohio, 1970). Lecture Notes in Mathematics, Vol. 168. Berlin: Springer, 1970, pp. 153–231.

[MS82]

Haynes Miller and Victor Snaith. “On \(K_*(Q\RP ^{n};\Z /2)\)”. In: Current trends in algebraic topology, Part 1 (London, Ont., 1981). Vol. 2. CMS Conf. Proc. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1982, pp. 233–243.

[Nis68]

Goro Nishida. “Cohomology operations in iterated loop spaces”. In: Proc. Japan Acad. 44 (1968), pp. 104–109.

[Noe]

Justin Noel. H-infinity is not E-infinity. arXiv: 0910.3566.

[Pri75]

Stewart Priddy. “Dyer-Lashof operations for the classifying spaces of certain matrix groups”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 26.102 (1975), pp. 179–193. url: https://doi.org/10.1093/qmath/26.1.179.

[Sna75]

V. P. Snaith. “Dyer-Lashof operations in \(K\)-theory”. In: Topics in \(K\)-theory. Two independent contributions. 1975, 103–294. Lecture Notes in Math., Vol. 496.

[Ste83]

Richard Steiner. “Homology operations and power series”. In: Glasgow Math. J. 24.2 (1983), pp. 161–168. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0017089500005231.

[Tsu73]

Akihiro Tsuchiya. “Homology operations on ring spectrum of \(H^{\infty }\) type and their applications”. In: J. Math. Soc. Japan 25 (1973), pp. 277–316. url: https://doi.org/10.2969/jmsj/02520277.