Goresky と MacPherson は, intersection cohomology を sheaf (の hyper)cohomology
として記述するために, perverse sheaf という概念を導入した。
Kirwan の本 [KW06] のような intersectoin cohomology の解説にも, もちろん書かれているが, とりあえず de
Cataldo と Migliorini の解説 [CM09] を読んでみるのもいいかもしれない。 Rietsch の [Rie04] もある。 最近,
Goresky による lecture note [Gor] も公開された。
Perverse sheaf は, それ自体重要な情報を持っている。例えば Beilinson と Bernstein の有名な結果 [BB81] は,
flag variety \(G/P\) 上の perverse sheaf の圏と \(\mathfrak {g}\) の或る種の表現の成す圏の同値を与える。
Braden は [Bra02]で, Grassmann 多様体上の Schubert stratification の場合の perverse sheaf
の圏を quiver を用いて表示す ることに成功している。Kapranov と Schechtman [KS16] によると, perverse
sheaf の成す圏のこの手の記述としては, 他には normal crossing の場合 [GGM85] と正方行列の成す空間上の rank
filtration の場合 [BG99] ぐらいのようである。 Kapranov と Schechtman は complexified hyperplane
arrangement の場合を考えている。
Langlands duality は, loop Grassmannian 上の perverse sheaf の成す tensor category
によりみることもできるらしい。 [Gin; MV07] など。
Kashiwara らは, [Kas+06] で perverse sheaf の microlocalization を構成している。
Kapranov と Schechtman は, [KS] で perverse schober という perverse sheaf の
categorification ともいうべき概念を導入している。 ベクトル空間を triangulated category に変えたものなので, stalk
毎に categorification している, という感じである。
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