Weighted Projective Spaces

Weighted projective space とは, 複素射影空間を定義するときの, \(S^1\) の \(S^{2n+1}\) への作用を weight vector によりい じって定義されたものである。もちろん, 複素数体以外の体上でも定義できるし, weighted Lens space も定義できる。

その integral cohomology ring は Kawasaki [Kaw73] により決定されている。この Kawasaki の論文では, twisted projective space と呼ばれている。 誰が, weighted projective space という言葉を普及させたのだろうか。

Bahri と Franz と Ray が [BFR09] でそのトーラスの作用に関する equivariant cohomology を計算している。 Complex \(K\)-theory は, Al Amrani [Al 94b; Al 94a] により調べられている。 \(\mathrm{KO}\) については, Nishimura と Yosimura の [NY97] がある。 Bahri と Franz と Ray [BFR] は, Kawasaki の結果や Al Amrani の結果を iterated Thom isomorphism を用いて見直している。

Bahri と Franz と Notbohm と Ray [Bah+] は, complex weighted projective space を up to homeomorphism と up to homotopy equivalence で分類している。

References

[Al 94a]

Abdallah Al Amrani. “A comparison between cohomology and \(K\)-theory of weighted projective spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 93.2 (1994), pp. 129–134. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(94)90107-4.

[Al 94b]

Abdallah Al Amrani. “Complex \(K\)-theory of weighted projective spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 93.2 (1994), pp. 113–127. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(94)90106-6.

[Bah+]

Anthony Bahri, Matthias Franz, Dietrich Notbohm, and Nigel Ray. The classification of weighted projective spaces. arXiv: 1108.1938.

[BFR]

Anthony Bahri, Matthias Franz, and Nigel Ray. Weighted projective spaces and iterated Thom spaces. arXiv: 1109.2359.

[BFR09]

Anthony Bahri, Matthias Franz, and Nigel Ray. “The equivariant cohomology ring of weighted projective space”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 146.2 (2009), pp. 395–405. arXiv: 0708.1581. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004108001965.

[Kaw73]

Tetsuro Kawasaki. “Cohomology of twisted projective spaces and lens complexes”. In: Math. Ann. 206 (1973), pp. 243–248.

[NY97]

Yasuzo Nishimura and Zen-ichi Yosimura. “The quasi \(K\mathrm{O}_*\)-types of weighted projective spaces”. In: J. Math. Kyoto Univ. 37.2 (1997), pp. 251–259.