Small Covers

Quasitoric manifold の定義で, \(S^1=U(1)\) を \(O(1)=\{\pm 1\}\) に変えたものを small cover という。やはり Davis と Januszkiewicz [DJ91] により導入された。 あまり良い名前とは思えないが。

Simple polytope とその facet の上の characteristic function で特徴付けられるなど, quasitoric manifold と良く似た性質を持つ。

代表的な例は, 実射影空間である。

西村氏の2011年6月17日の数理解析研究所での講演によると, 3次元凸多面体の持つ良い性質 (Steinitz の定理など) が使えるので, 3次元の small cover は組み合せ論的に調べやすいようである。

Izmestiev [Izm01], Nakayama と Nishimura [NN05], Lü と Yu [LY11], Nishimura [Nis] などにより, 3次元凸多面体での operation と, それに対応する3次元 small cover の operation が考えられている。

References

[DJ91]

Michael W. Davis and Tadeusz Januszkiewicz. “Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions”. In: Duke Math. J. 62.2 (1991), pp. 417–451. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-91-06217-4.

[Izm01]

I. V. Izmest\('\)ev. “Three-dimensional manifolds defined by a coloring of the faces of a simple polytope”. In: Mat. Zametki 69.3 (2001), pp. 375–382. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1010231424507.

[LY11]

Zhi Lü and Li Yu. “Topological types of 3-dimensional small covers”. In: Forum Math. 23.2 (2011), pp. 245–284. arXiv: 0710.4496. url: http://dx.doi.org/10.1515/FORM.2011.008.

[Nis]

Yasuzo Nishimura. Combinatorial constructions of three-dimensional small covers. arXiv: 1104.1744.

[NN05]

Hisashi Nakayama and Yasuzo Nishimura. “The orientability of small covers and coloring simple polytopes”. In: Osaka J. Math. 42.1 (2005), pp. 243–256. url: http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1153494325.