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多様体の単体分割について, 次元 \(d\) の多様体の \(N\) 頂点単体分割が存在するとき, \(N<3\lceil \frac {d}{2}\rceil +3\) なら球面しかないことを Brehm と Kühnel
[BK87] が示している。 彼等は, \(N=3\lceil \frac {d}{2}\rceil +3\) なら, 球面か \(d=2,4,8,16\) であることも示している。
この例外的な数字は, normed divsion algebra \(\R \), \(\bbC \), \(\Ha \), \(\mathbb {O}\) 上の projective plane の次元である。そして \(\RP ^2\) と \(\CP ^2\)
の場合には, 実際に6頂点, 9頂点の単体分割がある。
- \(\RP ^2\) の\(6\)頂点の単体分割と \(\CP ^2\) の\(9\)頂点の単体分割 (Banchoff と Kühnel の [KB83])
\(\CP ^{2}\) の\(9\)頂点単体分割については, Schwartz [Sch23] による新しい直接的な構成もある。
四元数の場合, \(\mathbb {H}\mathrm {P}^2\) とPL同相になりそうな \(15\) 頂点の単体的複体を Brehm と Kühnel [BK92] が構成している。実際に
PL同相になれば, それが\(\mathbb {H}\mathrm {P}^2\) の最小の単体分割であるが, Gorodkov [Gor19] がその証明に成功したと言っている。 そこで使われているのは,
Pontrjagin 数の計算であり, Gaiffulin の algorithm [Gaı̆04] である。
Chapoton と Manivel の [CM13] によると, 八元数上の projective plane の場合は, 候補すらないようである。
高次元の射影空間についても, 当然様々な人により調べられている。 有名なのは次の結果である。
- \(\RP ^n\) の単体分割は \(\frac {(n+1)(n+2)}{2}\) 個以上の頂点が必要 であり, \(n> 2\) なら \(\frac {(n+1)(n+2)}{2}+1\)個以上必要 (Arnoux と Marin [AM91])
- \(\CP ^n\) の単体分割は \((n+1)^2\)個以上の頂点が必要であり, \(n>2\) なら \((n+1)^2+1\) 個以上必要 (同じく Arnoux と Marin [AM91])
一方, 上からの評価としては, 次のものがある。
- \(\RP ^3\) の\(11\)頂点の単体分割 (Walkup の [Wal70])
- \(\RP ^4\) の\(16\)頂点の単体分割 (Balagopalan の [Bal17])
- \(\RP ^5\) の\(24\)頂点の単体分割 ( Lutz のページ)
- Adiprasito, Avvakumov, Karasev [AAK22] による \(\RP ^{n}\) の \(e^{(\frac {1}{2}+o(1))\sqrt {n}\log n}\) 頂点の単体分割
よって, \(\RP ^3\) と \(\RP ^4\) の場合は, vertex minimal triangulation が見つかっていることになる。\(\RP ^5\) の場合, \(22\)頂点のものがあるかどうかは,
まだ分っていないようである。
\(\RP ^4\) の16頂点, すなわち最小頂点数の単体分割は, Lutz のページで計算機による結果が公表されていたが, 具体的な構成を
Balagopalan [Bal17] が発見した。
\(\CP ^n\) の場合は一層難しい。\(\CP ^2\) の Banchoff と Kühnelの vertex minimal triangulation 以外に Sarkar の
[Sar] に書かれているのは以下の結果である。
- \(\CP ^3\) の18頂点の単体分割 (Baguchi と Datta の [BD12])
References
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[AAK22]
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Karim Adiprasito,
Sergey Avvakumov, and Roman Karasev. “A subexponential size
triangulation of \({\R }P^n\)”. In: Combinatorica 42.1 (2022), pp. 1–8. arXiv:
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In: Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A 45.2 (1991), pp. 167–244.
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Richard Evan
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Math. Intelligencer 45.4 (2023), pp. 359–364. arXiv: 2205.00595.
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[Wal70]
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David W. Walkup. “The lower bound conjecture for \(3\)- and
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