Burnside Ring

群 \(G\) の representation ring \(R(G)\) は, \(G\) の有限次元複素ベクトル空間上の表現の成す圏から Grothendieck group を取ることにより得られる。 有限群 \(G\) の有限集合上の表現から同様の構成を行なって得られるのが, \(G\) の Burnside ring \(A(G)\) である。

\(R(G)\) は, Atiyah-Segal の completion theorem [Ati61; AS69] により \(BG\) の complex \(K\)-theory と結び付くが, その Burnside ring での類似が Segal conjecture であった。

• Atiyah-Segal completion theorem
• Segal conjecture

Burnside ring には, 様々な一般化や変種が定義され, 調べられている。 目にしたものを挙げると以下のようになる。

• Burnside category [Szy13]
• double Burnside ring [BD12]
• slice Burnside ring and section Burnside ring [Bou12]
• Burnside ring of fusion category [GRY15]
• \(C\)-monomial Burnside ring for an Abelian group \(C\) [Dre71]
• Burnside ring of smooth schemes over a field [KT19]

最後のものは, 一見群と関係のないものへの一般化であり, このような拡張が考えられることを知って驚いた。 体 \(k\) の absolute Galois group の profinite group としての Burnside ring が \(k\) 上の nonempty, connected, reduced \(0\)-次元 scheme の同型類と同一視できることに着目し, それを高次元 scheme に拡張したものである。

Kontsevich と Tschinkel [KT19] によると, rationality を考えるときには, Grothendieck ring of varieties \(K_{0}(\category {Var}/k)\) より有用なようである。

References

[AS69]

M. F. Atiyah and G. B. Segal. “Equivariant \(K\)-theory and completion”. In: J. Differential Geometry 3 (1969), pp. 1–18. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214428815.

[Ati61]

M. F. Atiyah. “Characters and cohomology of finite groups”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 9 (1961), pp. 23–64. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1961__9__23_0.

[BD12]

Robert Boltje and Susanne Danz. “A ghost ring for the left-free double Burnside ring and an application to fusion systems”. In: Adv. Math. 229.3 (2012), pp. 1688–1733. arXiv: 1104.2244. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.12.015.

[Bou12]

Serge Bouc. “The slice Burnside ring and the section Burnside ring of a finite group”. In: Compos. Math. 148.3 (2012), pp. 868–906. arXiv: 1101.3138. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X11007500.

[Dre71]

Andreas Dress. “The ring of monomial representations. I. Structure theory”. In: J. Algebra 18 (1971), pp. 137–157. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(71)90132-3.

[GRY15]

Matthew Gelvin, Sune Precht Reeh, and Ergün Yalçın. “On the basis of the Burnside ring of a fusion system”. In: J. Algebra 423 (2015), pp. 767–797. arXiv: 1403.6053. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2014.10.026.

[KT19]

Maxim Kontsevich and Yuri Tschinkel. “Specialization of birational types”. In: Invent. Math. 217.2 (2019), pp. 415–432. arXiv: 1708.05699. url: https://doi.org/10.1007/s00222-019-00870-9.

[Szy13]

Markus Szymik. “The chromatic filtration of the Burnside category”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 154.2 (2013), pp. 287–302. arXiv: 2002.04877. url: https://doi.org/10.1017/S0305004112000527.