群 \(G\) の representation ring \(R(G)\) は, \(G\) の有限次元複素ベクトル空間上の表現の成す圏から Grothendieck group
を取ることにより得られる。 有限群 \(G\) の有限集合上の表現から同様の構成を行なって得られるのが, \(G\) の Burnside ring \(A(G)\)
である。
\(R(G)\) は, Atiyah-Segal の completion theorem [Ati61; AS69] により \(BG\) の complex \(K\)-theory
と結び付くが, その Burnside ring での類似が Segal conjecture であった。
Burnside ring には, 様々な一般化や変種が定義され, 調べられている。 目にしたものを挙げると以下のようになる。
- Burnside category [Szy13]
- double Burnside ring [BD12]
- slice Burnside ring and section Burnside ring [Bou12]
- Burnside ring of fusion category [GRY15]
-
\(C\)-monomial Burnside ring for an Abelian group \(C\) [Dre71]
- Burnside ring of smooth schemes over a field [KT19]
最後のものは, 一見群と関係のないものへの一般化であり, このような拡張が考えられることを知って驚いた。 体 \(k\) の absolute Galois
group の profinite group としての Burnside ring が \(k\) 上の nonempty, connected, reduced \(0\)-次元
scheme の同型類と同一視できることに着目し, それを高次元 scheme に拡張したものである。
Kontsevich と Tschinkel [KT19] によると, rationality を考えるときには, Grothendieck ring of
varieties \(K_{0}(\category {Var}/k)\) より有用なようである。
References
-
[AS69]
-
M. F. Atiyah and G. B. Segal. “Equivariant \(K\)-theory and
completion”. In: J. Differential Geometry 3 (1969), pp. 1–18. url:
http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214428815.
-
[Ati61]
-
M. F. Atiyah. “Characters and cohomology of finite groups”. In:
Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 9 (1961), pp. 23–64. url:
http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1961__9__23_0.
-
[BD12]
-
Robert Boltje and Susanne Danz. “A ghost ring for the left-free
double Burnside ring and an application to fusion systems”. In:
Adv. Math. 229.3 (2012), pp. 1688–1733. arXiv: 1104.2244. url:
https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.12.015.
-
[Bou12]
-
Serge Bouc. “The slice Burnside ring and the section Burnside ring of
a finite group”. In: Compos. Math. 148.3 (2012), pp. 868–906. arXiv:
1101.3138. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X11007500.
-
[Dre71]
-
Andreas Dress. “The ring of monomial representations. I.
Structure theory”. In: J. Algebra 18 (1971), pp. 137–157. url:
https://doi.org/10.1016/0021-8693(71)90132-3.
-
[GRY15]
-
Matthew Gelvin, Sune Precht Reeh, and Ergün Yalçın. “On
the basis of the Burnside ring of a fusion system”. In:
J. Algebra 423 (2015), pp. 767–797. arXiv: 1403.6053. url:
https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2014.10.026.
-
[KT19]
-
Maxim Kontsevich and Yuri Tschinkel. “Specialization of birational
types”. In:
Invent. Math. 217.2 (2019), pp. 415–432. arXiv: 1708.05699. url:
https://doi.org/10.1007/s00222-019-00870-9.
-
[Szy13]
-
Markus Szymik. “The chromatic filtration of the Burnside category”.
In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 154.2 (2013), pp. 287–302.
arXiv: 2002.04877. url:
https://doi.org/10.1017/S0305004112000527.
|