Adams作用素とK理論のコホモロジー作用素

位相空間の \(K\)-theory は, Bott 周期性を用いて cohomology theoryにすることができるから, その上のcohomology operation も重要である。

• Adams operation の定義
• Adams-Atiyah による Adams 作用素を用いた Hopf invariant one の元の非存在の証明 [AA66]
• \(\lambda \)-ring

Adams operation は, unstable operation である。Stable operation については, Adams と Clarke [AC77] が調べている。その元となったのは, Adams と Harris と Switzer の [AHS71] である。また, \(p\)-local には, Clarke と Crossley と Whitehouse [CCW05] が, degree \(0\) の operation の成す環を調べている。 それは topological ring になるが, 位相空間 の \(p\)-local \(K\)-theory は, その上の discrete module になる。 そこで, 彼等は [CCW07] でその環の上の discrete module の圏を 調べている。そして Bousfield が [Bou85] で調べている圏と同型になることを示している。 Clarke の [Cla87] もみるとよい。

Steenrod algebra 上の代数の実現問題との類似から, どのような \(\lambda \)-ring が 位相空間の\(K\)理論として実現できるか, というのは自然な問題である。 位相空間の\(K\)理論は, Atiyah-Hirzebruch spectral sequence の構成, つまり skeleton による filtration を持つので, 考える問題は, filtered \(\lambda \)-ring の実現である。この問題は, 例えば Yau の [Yau06] で考察されている。

Higher algebraic \(K\)-theory の \(\lambda \)-ring の構造については, 様々な人が構成を行なっている。

• \(\lambda \)-operations on algebraic \(K\)-theory

Smooth \(K\)-theory については Bunke の [Bun10] で定義されている。

Brown, Miller, Thompson, Walker [Bro+17] は, matrix factorization の Grothendieck 群上に Adams operation を定義している。

References

[AA66]

J. F. Adams and M. F. Atiyah. “\(K\)-theory and the Hopf invariant”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 17 (1966), pp. 31–38.

[AC77]

J. F. Adams and F. W. Clarke. “Stable operations on complex \(K\)-theory”. In: Illinois J. Math. 21.4 (1977), pp. 826–829.

[AHS71]

J. F. Adams, A. S. Harris, and R. M. Switzer. “Hopf algebras of cooperations for real and complex \(K\)-theory”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 23 (1971), pp. 385–408.

[Bou85]

A. K. Bousfield. “On the homotopy theory of \(K\)-local spectra at an odd prime”. In: Amer. J. Math. 107.4 (1985), pp. 895–932. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374361.

[Bro+17]

Michael K. Brown, Claudia Miller, Peder Thompson, and Mark E. Walker. “Adams operations on matrix factorizations”. In: Algebra Number Theory 11.9 (2017), pp. 2165–2192. arXiv: 1610.09907. url: https://doi.org/10.2140/ant.2017.11.2165.

[Bun10]

Ulrich Bunke. “Adams operations in smooth \(K\)-theory”. In: Geom. Topol. 14.4 (2010), pp. 2349–2381. arXiv: 0904 . 4355. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2010.14.2349.

[CCW05]

Francis Clarke, Martin Crossley, and Sarah Whitehouse. “Algebras of operations in \(K\)-theory”. In: Topology 44.1 (2005), pp. 151–174. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2004.05.003.

[CCW07]

Francis Clarke, Martin Crossley, and Sarah Whitehouse. “The discrete module category for the ring of \(K\)-theory operations”. In: Topology 46.2 (2007), pp. 139–154. arXiv: math/0603045. url: https://doi.org/10.1016/j.top.2007.01.001.

[Cla87]

Francis Clarke. “\(p\)-adic analysis and operations in \(K\)-theory”. en. In: Groupe de travail d’analyse ultramétrique 14 (1986-1987). talk:15. url: http://www.numdam.org/item/GAU_1986-1987__14__A7_0/.

[Yau06]

Donald Yau. “On \(\lambda \)-rings and topological realization”. In: Int. J. Math. Math. Sci. (2006), Art. ID 91267, 21. arXiv: math/0501515. url: https://doi.org/10.1155/IJMMS/2006/91267.