代数幾何学におけるコホモロジー

位相空間や多様体のコホモロジーは, 特異コホモロジーや de Rham コホモロジー, そして一般コホモロジーのように, 様々なものが開発されてきた。 代数多様体や scheme のコホモロジーにも様々なものがある。代表的なものは以下のものである。

• algebraic de Rham cohomology
• étale cohomology
• crystalline cohomology

Walther [Wal00] によると, algebraic de Rham cohomology は Hartshorne [Har72; Har75] により導入されたもののようである。

また, \(X\) が \(\bbC \) 上定義されている場合は, \(X(\bbC )\) の特異コホモロジーを考えることもできる。 これらは, 適当な係数で Weil cohomology の条件をみたす。

• Weil cohomology

Weil cohomology の公理は様々な文献で見ることができるが, 例えば, Connes と Marcolli の本 [CM08] の第1章8節に書かれている。

別の方向では, algebraic cycle を用いて定義されるものがある。

• Chow ring
• Lawson homology あるいは morphic (co)homology
• semitopological \(K\)-theory
• semitopological cobordism ([Hel06])

より新しいものとしては, 以下のものがある。

• algebraic singular cohomology (Suslin と Voevodsky [SV96])
• (higher) algebraic \(K\)-theory
• Voevodsky の algebraic cobordism \(\mathrm {MGL}^{*,*}(X)\) ([Voe98])
• Levine-Morel algebraic cobordism \(\Omega ^*(X)\) ([LM07])

これらは, 見ての通り Voevodsky による motivic homotopy theoryの枠組みで 定義されるものである。

Krishna と Park [KP15] や Heller [Hel15] により, Lawson homologyや semitopological \(K\)-theoryなどが, motivic stable homotopy theory の枠組みで扱えることが分ってきたようである。

他には, Bhatt と Scholze [BS] が導入した prismatic cohomology というものもある。 Bhatt による survey [Bha] がある。

• prismatic cohomology

References

[Bha]

Bhargav Bhatt. Algebraic geometry in mixed characteristic. arXiv: 2112.12010.

[BS]

Bhargav Bhatt and Peter Scholze. Prisms and Prismatic Cohomology. arXiv: 1905.08229.

[CM08]

Alain Connes and Matilde Marcolli. Noncommutative geometry, quantum fields and motives. Vol. 55. American Mathematical Society Colloquium Publications. Providence, RI: American Mathematical Society, 2008, pp. xxii+785. isbn: 978-0-8218-4210-2.

[Har72]

Robin Hartshorne. “Algebraic de Rham cohomology”. In: Manuscripta Math. 7 (1972), pp. 125–140.

[Har75]

Robin Hartshorne. “On the De Rham cohomology of algebraic varieties”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 45 (1975), pp. 5–99.

[Hel06]

Jeremiah Ben Heller. Semi-topological cobordism for complex varieties. Thesis (Ph.D.)–Northwestern University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2006, p. 75. isbn: 978-0542-62200-7.

[Hel15]

Jeremiah Heller. “Motivic strict ring spectra representing semi-topological cohomology theories”. In: Homology Homotopy Appl. 17.2 (2015), pp. 107–135. arXiv: 1304. 6288. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2015.v17.n2.a7.

[KP15]

Amalendu Krishna and Jinhyun Park. “Semitopologization in motivic homotopy theory and applications”. In: Algebr. Geom. Topol. 15.2 (2015), pp. 823–861. arXiv: 1302 . 2218. url: https://doi.org/10.2140/agt.2015.15.823.

[LM07]

M. Levine and F. Morel. Algebraic cobordism. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer, 2007, pp. xii+244. isbn: 978-3-540-36822-9; 3-540-36822-1.

[SV96]

Andrei Suslin and Vladimir Voevodsky. “Singular homology of abstract algebraic varieties”. In: Invent. Math. 123.1 (1996), pp. 61–94. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01232367.

[Voe98]

Vladimir Voevodsky. “\(\mathbf {A}^{1}\)-homotopy theory”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998). Extra Vol. I. 1998, 579–604 (electronic).

[Wal00]

Uli Walther. “Algorithmic computation of de Rham cohomology of complements of complex affine varieties”. In: vol. 29. 4-5. Symbolic computation in algebra, analysis, and geometry (Berkeley, CA, 1998). 2000, pp. 795–839. arXiv: math / 9807176. url: https://doi.org/10.1006/jsco.1999.0328.