Combinatorial Grassmannian or or Matroid Grassmannian or MacPhersonian

組み合せ論的な vector bundle の類似として matroid bundle というものがあるが, それを分類するものとして matroid Grassmannian や combinatorial Grassmannian や MacPhersonian と呼ばれる poset がある。

Laura Anderson [And98; And99b; And99a; AD02] により色々調べられている。

当然, 実 Grassmann 多様体と MacPhersonian の関係が気になるところである。同相か, 少なくともホモトピー同値になっているのではないか, というのは, 誰しも思うことである。 Daniel Biss が [Bis03] でホモトピー同値であることを証明したと主張したが, Mnëv [Mnë] が間違いを指摘している。

Palić [Pal18] や Abawonse [Aba] によると, rank 2 の場合は, Babson の thesis [Bab94] でホモトピー同値であることが証明されているようである。 Abawonse は, その場合に同相であることを証明したと主張している。

Laura Anderson は, MacPhersonian のホモトピー群 [And98] を調べたりもしている。

変種として, Strausz [Str] の acyclic MacPhersonian がある。 Strausz は, affine Grassmann 多様体とホモトピー型を比較している。

References

[Aba]

Olakunle S Abawonse. Triangulations of Grassmannians and flag manifolds. arXiv: 2205.09553.

[AD02]

Laura Anderson and James F. Davis. “Mod 2 cohomology of combinatorial Grassmannians”. In: Selecta Math. (N.S.) 8.2 (2002), pp. 161–200. arXiv: math/9911158. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-002-8104-4.

[And98]

L. Anderson. “Homotopy groups of the combinatorial Grassmannian”. In: Discrete Comput. Geom. 20.4 (1998), pp. 549–560. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00009401.

[And99a]

Laura Anderson. “Matroid bundles”. In: New perspectives in algebraic combinatorics (Berkeley, CA, 1996–97). Vol. 38. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999, pp. 1–21.

[And99b]

Laura Anderson. “Topology of combinatorial differential manifolds”. In: Topology 38.1 (1999), pp. 197–221. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(98)00011-1.

[Bab94]

Eric Kendall Babson. A combinatorial flag space. Thesis (Ph.D.)–Massachusetts Institute of Technology. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1994, (no paging). url: http://hdl.handle.net/1721.1/12052.

[Bis03]

Daniel K. Biss. “The homotopy type of the matroid Grassmannian”. In: Ann. of Math. (2) 158.3 (2003), pp. 929–952. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2003.158.929.

[Mnë]

Nikoli Mnëv. On D.K. Biss’ papers "The homotopy type of the matroid Grassmannian" and "Oriented matroids, complex manifolds, and a combinatorial model for \(\mathrm {BU}\)". arXiv: 0709.1291.

[Pal18]

Nevena Palić. “Grassmannians, measure partitions and waists of spheres”. PhD thesis. Freien Universität Berlin, 2018. url: http://dx.doi.org/10.17169/refubium-841.

[Str]

Ricardo Strausz. On The Acyclic MacPhersonian. arXiv: 1504. 06592.