Universe

集合全体は集合にならないため, category theory を行なうときには, 通常の (ZFCの) 集合論は不十分である。 代数幾何学の基礎付けのために Grothendieck [SGA4-172; SGA4-272; SGA4-373] が考えたのが universe の概念を含む集合論の拡張である。

この集合論の拡張は Grothendieck-Tarski set theory と呼ばれたりするが, それは universe の公理が Tarski に依るからである。 Lyubashenko [Lyu] は Tarski の論文 [Tar39] を参照している。

Universe については, SGA4 [SGA4-172] の Exposé I に Bourbaki による appindix があるが, Kashiwara と Schapira の本 [KS06] にも書かれている。他にも Streicher の [Str], Shulman の [Shu], Low の [Low] などがある。 日本語では, 浅芝さんの本 [浅芝秀19] がある。

Grothendieck のアイデアは, universe を一つ固定してその中で議論し, 必要になったらその universe を含む少し大きな universe で考えるようにする, というものである。そうすると, category theory 的な構成が選んだ universe に依るのではないか, という疑問が起きるが, それについては Low [Low] が locally presentable category の間の accessible functor に対する adjoint は universe に依らないということを示している。

この MathOverflow の質問では, universe のためには inaccessible cardinal の存在が必要であるが, ZFC の中では inaccessible cardinal の存在が証明できないため, universe に代る higher category theory のための枠組みがないか, 聞かれている。 その回答では, Feferman set theory [Fef69] が提案されている。

• Feferman set theory

複数の universe がある, とする視点を提案している人 [Ham12] もいる。この Hamkins の論文は, \(n\)-Category Café や Math Overflow ( ここや ここや ここ) などで話題になっている。

References

[Fef69]

Solomon Feferman. “Set-theoretical foundations of category theory”. In: Reports of the Midwest Category Seminar, III. Lecture Notes in Math., No. 106. Springer, Berlin-New York, 1969, pp. 201–247.

[Ham12]

Joel David Hamkins. “The set-theoretic multiverse”. In: Rev. Symb. Log. 5.3 (2012), pp. 416–449. arXiv: 1108.4223. url: https://doi.org/10.1017/S1755020311000359.

[KS06]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Categories and sheaves. Vol. 332. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2006, pp. x+497. isbn: 978-3-540-27949-5; 3-540-27949-0. url: https://doi.org/10.1007/3-540-27950-4.

[Low]

Zhen Lin Low. Universes for category theory. arXiv: 1304.5227.

[Lyu]

Volodymyr Lyubashenko. Filtered cocategories. arXiv: 2010.05242.

[SGA4-172]

Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck, et J. L. Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B. Saint-Donat. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. xix+525.

[SGA4-272]

Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 2. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 270. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck et J. L. Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B. Saint-Donat. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. iv+418.

[SGA4-373]

Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 3. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 305. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck et J. L. Verdier. Avec la collaboration de P. Deligne et B. Saint-Donat. Berlin: Springer-Verlag, 1973, pp. vi+640.

[Shu]

Michael A. Shulman. Set theory for category theory. arXiv: 0810.1279.

[Str]

Thomas Streicher. Universes in Toposes. url: https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~streicher/NOTES/UniTop.pdf.

[Tar39]

Alfred Tarski. “On well-ordered subsets of any set”. eng. In: Fundamenta Mathematicae 32.1 (1939), pp. 176–783. url: http://eudml.org/doc/213056.

[浅芝秀19]

浅芝秀人. 圏と表現論. 2-圏論的被覆理論を中心に. Vol. 155. SGCライブラリ. サイエンス社, 2019, p. 248.