Numerical Algebraic Geometry

代数幾何学の起源は, 多項式系の零点として定義される空間の研究である。 Grothendieck の登場により, 高度に抽象化された理論となってしまったが, 現代でも具体的な多項式系の零点を求めることは, 様々な分野で必要とされる。

例えば, Bates らの本 [Bat+13] がある。

最近の進展としては, homotopy continuation algorithm の進歩がある。 Breiding らの [BBF] には, 次のようなソフトが挙げられている。

• Bertini
• HomotopyContinuation.jl [BT]
• Hom4PS-3 [CLL14]
• NAG4M2
• PHCpack [Ver99]

Breidng らは homotopy continuation algorithm については, Sommese と Wampler II の本 [SW05] を参照している。

• homotopy continuation algorithm

他には, Huber と Sturmfels [HS95] の polyhedral homotopy method がある。これは Bernstein の定理 [Ber75] を algorithm として implement したものである。

• polyhedral homotopy method

Breiding は, topological data analysis と numerical algebraic geometry の関係について, 考えたことを短い文章 [Bre20] にまとめている。

References

[Bat+13]

Daniel J. Bates, Jonathan D. Hauenstein, Andrew J. Sommese, and Charles W. Wampler. Numerically solving polynomial systems with Bertini. Vol. 25. Software, Environments, and Tools. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2013, pp. xx+352. isbn: 978-1-611972-69-6.

[BBF]

Paul Breiding, Taylor Brysiewicz, and Hannah Friedman. Homotopy Iterators. arXiv: 2509.08084.

[Ber75]

D. N. Bernstein. “The number of roots of a system of equations”. In: Funkcional. Anal. i Priložen. 9.3 (1975), pp. 1–4.

[Bre20]

Paul Breiding. “An algebraic geometry perspective on topological data analysis”. In: SIAM News 53.1 (2020), p. 5. arXiv: 2001.02098.

[BT]

Paul Breiding and Sascha Timme. HomotopyContinuation.jl: A package for homotopy continuation in Julia. arXiv: 1711.10911.

[CLL14]

Tianran Chen, Tsung-Lin Lee, and Tien-Yien Li. “Hom4PS-3: A Parallel Numerical Solver for Systems of Polynomial Equations Based on Polyhedral Homotopy Continuation Methods”. In: Mathematical Software – ICMS 2014. Ed. by Hoon Hong and Chee Yap. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2014, pp. 183–190. isbn: 978-3-662-44199-2.

[HS95]

Birkett Huber and Bernd Sturmfels. “A polyhedral method for solving sparse polynomial systems”. In: Math. Comp. 64.212 (1995), pp. 1541–1555. url: https://doi.org/10.2307/2153370.

[SW05]

Andrew J. Sommese and Charles W. Wampler II. The numerical solution of systems of polynomials. Arising in engineering and science. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2005, pp. xxii+401. isbn: 981-256-184-6. url: https://doi.org/10.1142/9789812567727.

[Ver99]

Jan Verschelde. “Algorithm 795: PHCpack: a general-purpose solver for polynomial systems by homotopy continuation”. In: ACM Trans. Math. Softw. 25.2 (1999), pp. 251–276. url: https://doi.org/10.1145/317275.317286.