Operads for Higher Commutativity

Operad は, May の 多重ループ空間の研究 [May72] で定義が明確にされた概念であるが, そこで用いられたのが little cube operad である。 そしてその little cube operad は, Hopf space の higher homotopy commutativity を記述するものである。 そして little \(n\)-operad と同値な operad を \(E_{n}\)-operad と呼ぶ。 \(E_{n}\)-operad については Berger の [Ber] がある。

• \(E_{n}\)-operad
• \(E_{\infty }\)-operad

特異単体的集合 を取ることにより, little cube operad から chain complex の圏での operad ができるので, chain complex の圏での \(E_{n}\)-operad を定義することができる。

Steenrod による Steenrod operation の構成は, singular cochain complex の higher homotopy commutativity を測るものなので, \(E_{\infty }\)-operad と深い関係になある。 もちろん Steenrod の仕事には \(E_{\infty }\)-operad は登場しないが。 これについては, May の [May70] が基本的な文献である。

• Steenrod operation

また Deligne 予想も \(E_{n}\)-operad に関連した話題として有名である。

• Deligne conjecture

環 については, 可換か非可換かのどちらかしかないが, 安定ホモトピー論での環, すなわち ring spectrum では, その途中を \(E_{n}\)-operad を用いて考えることができる。

• \(E_{n}\)-ring spectrum

\(E_{\infty }\)-operad のモデルとしては, little cube を用いたものの他にも, 様々なものが考えられている。例えば次のようなものがある。

• Barratt-Eccles operad [BE74]
• surjection operad [MS02; MS03; BF04]
• Medina-Mardones によるもの [Med20; Med21]

Factorization homology は \(E_{n}\)-algebra の homology theory と思うこともできるが, Ayala と Francis [AF15] は, \(E_{n}\)-operad の代りに framed \(n\)-disk の成す symmetric monoidal \((\infty ,1)\)-category を使っている。 その category からの functor を \(n\)-disk algebra を呼び, \(E_{n}\)-algebra の代わりに用いている。

• disk algebra

Devalapurkar ら [Dev+] は, \(\mathrm {BP}\) や \(\mathrm {BP}\langle n\rangle \) や Ravenel の \(X(n)\) などの disk-algebra の構造を調べている。

群の作用を持つ場合, Blumberg と Hill [BH15] が \(E_{\infty }\)-operad の equivariant 版として \(N_{\infty }\)-operad を導入している。 その目的は, equivariant ring spectrum を定義することだったが。 具体的な little disk operad の equivariant 版としては Hill の [Hil22] などがある。

• \(N_{\infty }\)-operad

\(N_{\infty }\)-operad のホモトピー圏は, Blumberg と Hill により indexing system の poset と同値であることが予想されたが, Rubin [Rub21] により, その予想が証明されている。

References

[AF15]

David Ayala and John Francis. “Factorization homology of topological manifolds”. In: J. Topol. 8.4 (2015), pp. 1045–1084. arXiv: 1206.5522. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtv028.

[BE74]

M. G. Barratt and Peter J. Eccles. “\(\Gamma ^{+}\)-structures. I. A free group functor for stable homotopy theory”. In: Topology 13 (1974), pp. 25–45. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(74)90036-6.

[Ber]

Clemens Berger. Cellular structures for \(E_{n}\)-operads. url: https://math.unice.fr/~cberger/cell.pdf.

[BF04]

Clemens Berger and Benoit Fresse. “Combinatorial operad actions on cochains”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 137.1 (2004), pp. 135–174. arXiv: math/0109158. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004103007138.

[BH15]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Hill. “Operadic multiplications in equivariant spectra, norms, and transfers”. In: Adv. Math. 285 (2015), pp. 658–708. arXiv: 1309.1750. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.07.013.

[Dev+]

Sanath Devalapurkar, Jeremy Hahn, Tyler Lawson, Andrew Senger, and Dylan Wilson. Examples of disk algebras. arXiv: 2302.11702.

[Hil22]

Michael A. Hill. “On the algebras over equivariant little disks”. In: J. Pure Appl. Algebra 226.10 (2022), Paper No. 107052, 21. arXiv: 1709.02005. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2022.107052.

[May70]

J. Peter May. “A general algebraic approach to Steenrod operations”. In: The Steenrod Algebra and its Applications (Proc. Conf. to Celebrate N. E. Steenrod’s Sixtieth Birthday, Battelle Memorial Inst., Columbus, Ohio, 1970). Lecture Notes in Mathematics, Vol. 168. Berlin: Springer, 1970, pp. 153–231.

[May72]

J. P. May. The geometry of iterated loop spaces. Lectures Notes in Mathematics, Vol. 271. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. viii+175.

[Med20]

Anibal M. Medina-Mardones. “A finitely presented \(E_\infty \)-prop I: algebraic context”. In: High. Struct. 4.2 (2020), pp. 1–21. arXiv: 1808.00854.

[Med21]

Anibal M. Medina-Mardones. “A finitely presented \(E_\infty \)-prop II: cellular context”. In: High. Struct. 5.1 (2021), pp. 186–203. arXiv: 1808.07132.

[MS02]

James E. McClure and Jeffrey H. Smith. “A solution of Deligne’s Hochschild cohomology conjecture”. In: Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000). Vol. 293. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 153–193. arXiv: math/9910126. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/293/04948.

[MS03]

James E. McClure and Jeffrey H. Smith. “Multivariable cochain operations and little \(n\)-cubes”. In: J. Amer. Math. Soc. 16.3 (2003), 681–704 (electronic). arXiv: math/0106024. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-03-00419-3.

[Rub21]

Jonathan Rubin. “Combinatorial \(N_\infty \) operads”. In: Algebr. Geom. Topol. 21.7 (2021), pp. 3513–3568. arXiv: 1705.03585. url: https://doi.org/10.2140/agt.2021.21.3513.