はめ込みと埋め込み

多様体の埋め込みやはめ込みについての基本的な問題は, どれだけ次元の低い Euclid 空間に埋め込めるか (はめ込め) るか, である。 まずは, 次の有名な定理を知っているべきだろう。

• 多様体の埋め込み (embedding) とはめ込み (immersion) の定義
• Whitney の埋め込み定理。\(n\)次元 smooth manifold は \(\R ^{2n+1}\) へ埋め込むことができる [Whi36]。実は, \(\R ^{2n}\) へ埋め込むことができる [Whi44]。
• \(n\)次元 smooth manifold は, \(\R ^{2n}\) へはめ込むことができる。 実は, \(n\ge 2\)のとき, \(\R ^{2n-1}\) へはめ込むことができる。

球面の埋め込みについては, 余次元 \(1\) の場合は Jordan-Brouwer Separation Theorem と Schönflies の定理の一般化で解決されている。余次元 \(2\) の場合は, 結び目の問題である。

• Schönflies の定理の一般化
• 結び目

射影空間などの具体的な多様体について, その埋め込み (はめ込み) 可能な次元を求める際には, ホモトピー論のテクニックが有効であり, 古くから Mahowald や Don Davis などにより研究されてきた。

実射影空間の埋め込みとはめ込み可能性について何が分っているかについては, その第一人者である Don Davis の web page の表を見るとよい。 どの次元の実射影空間がどの次元に埋め込み (はめ込み) できるかできないかが, どの論文で証明されているかも含めて一覧表になっている。

最近の話題では, topological complexity との関連が興味深い。Farber と Tabachnikov と Yuzvinsky の [FTY03] で topological complexity と immersion 次元の間の公式が証明されている。その後の進展については, González と Landweber の [GL] や Grant の [Gra] を見るとよい。

Tabachnikov は Ghomi と共に [GT08] で多様体の Euclid 空間への totally skew embedding の次元を調べている。 任意の異なる\(2\)点での接線が捻れの位置にあるような埋め込みのことである。 Baralic らの [Bar+] で詳しく調べられている。

Euclid 空間への埋め込みの場合には, \(k\)-regular embedding という種類の埋め込みも考えることができる。これは configuration space と密接に関連した概念である。

• \(k\)-regular embedding

複素射影空間については, Davis の [Dav] の参考文献を見ると良い。

埋め込みやはめ込みが可能な次元では, 次の問題は, それらの isotopy による分類である。

埋め込みやはめ込みの isotopy による分類を行なうことは, 二つの多様体の間の埋め込みやはめ込みの成す空間の, 弧状連結成分を調べることと同じである。 埋め込みの分類や埋め込みの成す空間については, 様々な人が調べている。

• 埋め込みのなす空間

Skopenkov は [Sko] で, 球面の直積の Euclid 空間への metastable 次元以下での埋め込みについて調べている。 球面の安定ホモトピー群で分類できるというのは面白い。

位相空間論の専門家にとっては, Euclid 空間以外の空間への埋め込みは重要な問題のようである。例えば, tree の直積への埋め込みについて様々な人が調べている。 例えば, Melikhov と Zajac の [MZ] の Introduction を見るとよい。 例えば, Gillman と Matveev と Rolfsen [GMR94] により, 境界のある \(n\)次元 PL多様体は, \(n\) 個の tree の直積に埋め込めることが示されているらしい。

コンパクトLie群の作用を持つコンパクト多様体の埋め込みについては, Mostow [Mos57] と Palais [Pal57] による結果がある。

他に, 構造を持った多様体については, コンパクト複素多様体の複素射影空間への埋め込み (Kodaira [Kod54]), compact symplectic manifold の複素射影空間への埋め込み (Tischler [Tis77]), quasitoric manfold の Euclid 空間や複素射影空間への equivariant な埋め込み (BuchstaberとKustarev [BK]), などが調べられている。

References

[Bar+]

Djordje Baralic, Branislav Prvulovic, Gordana Stojanovic, Sinisa Vrecica, and Rade Zivaljevic. Topological obstructions to totally skew embeddings. arXiv: 1005.3709.

[BK]

Victor Buchstaber and Andrey Kustarev. Embedding theorems for quasitoric manifolds. arXiv: 1506.04523.

[Dav]

Donald M. Davis. Some new immersion results for complex projective space. arXiv: math/0602472.

[FTY03]

Michael Farber, Serge Tabachnikov, and Sergey Yuzvinsky. “Topological robotics: motion planning in projective spaces”. In: Int. Math. Res. Not. 34 (2003), pp. 1853–1870. arXiv: math/0210018. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792803210035.

[GL]

Jesus Gonzalez and Peter Landweber. Symmetric topological complexity of projective and lens spaces. arXiv: 0809.0816.

[GMR94]

David Gillman, Sergei Matveev, and Dale Rolfsen. “Collapsing and reconstruction of manifolds”. In: Geometric topology (Haifa, 1992). Vol. 164. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, pp. 35–39. url: https://doi.org/10.1090/conm/164/01583.

[Gra]

Mark Grant. Topological Complexity and non-immersions of real projective space. arXiv: 0912.1212.

[GT08]

Mohammad Ghomi and Serge Tabachnikov. “Totally skew embeddings of manifolds”. In: Math. Z. 258.3 (2008), pp. 499–512. arXiv: math/0307044. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-007-0182-8.

[Kod54]

K. Kodaira. “On Kähler varieties of restricted type (an intrinsic characterization of algebraic varieties)”. In: Ann. of Math. (2) 60 (1954), pp. 28–48. url: https://doi.org/10.2307/1969701.

[Mos57]

G. D. Mostow. “Equivariant embeddings in Euclidean space”. In: Ann. of Math. (2) 65 (1957), pp. 432–446.

[MZ]

Sergey A. Melikhov and Justyna Zajac. Contractible polyhedra in products of trees and absolute retracts in products of dendrites. arXiv: 1102.0696.

[Pal57]

Richard S. Palais. “Imbedding of compact, differentiable transformation groups in orthogonal representations”. In: J. Math. Mech. 6 (1957), pp. 673–678.

[Sko]

A. Skopenkov. Classification of embeddings below the metastable dimension. arXiv: math/0607422.

[Tis77]

David Tischler. “Closed \(2\)-forms and an embedding theorem for symplectic manifolds”. In: J. Differential Geometry 12.2 (1977), pp. 229–235. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214433984.

[Whi36]

Hassler Whitney. “Differentiable manifolds”. In: Ann. of Math. (2) 37.3 (1936), pp. 645–680. url: http://dx.doi.org/10.2307/1968482.

[Whi44]

Hassler Whitney. “The self-intersections of a smooth \(n\)-manifold in \(2n\)-space”. In: Ann. of Math. (2) 45 (1944), pp. 220–246. url: https://doi.org/10.2307/1969265.