Generating Hypothesis

安定ホモトピー論における重要な問題の一つとして, P. Freyd の [Fre66] にある Generating Hypothesis がある。これは次の予想である:

もしこれが成り立つと, functor \(\pi _*\) が誘導する写像 \[ [X,Y] \rarrow{} \Hom _{\pi _*(S^0)}(\pi _*(X),\pi _*(Y)) \] が単射になるので, finite CW-spectrum の安定ホモトピー圏が \(\pi _*(S^0)\)-module の圏に faithful に埋め込まれることになる。もちろん \(\pi _*(S^0)\) は未だに mysterious であるが。

この Generating Hypothesis は, 安定ホモトピー論の研究者の努力にもかかわらず未だ未解決である。 安定ホモトピー圏は難しすぎる。そこで, finite CW-spectrum の圏をもっと単純な別の triangulated category, あるいは stable model categoryに変えて考えようというのは自然なアイデアである。

代数的な圏では, Lockridge が [Loc], そして更に Hovey と Puninski との共著 [HLP] で, 環の derived category の場合を考察している。

一般の (homology functor \(H\) を持つ) stable model category \(\bm{T}\) では, original の予想と \(H\) が fully faithful というのは同値ではないかもしれないので, 次の二つの形の予想が考えられる:

• Generating Hypothesis: \(\bm{T}\) での small object の間の morphism \(f: X \to Y\) について, \(H(f)=0\) ならば \(f=0\) である。
• Strong Generating Hypothesis: small object \(X\) と \(Y\) に対し, \(H\) が誘導する写像 \[ [X,Y] \longrightarrow \Hom (H(X),H(Y)) \] は同型である。

Hovey と Lockridge と Puninski は, 環 \(R\) の derived category において Strong Generating Hypothesis が成り立つための必要十分条件は, \(R\) が von Neumann regular であること, を証明している。これは Lockridge の結果の精密化である。また Generating Hypothesis が成り立つが von Neumann regular ではない例も構成している。

有限群の group ring の stable module category における Generating Hypothesis について考えているのは, Chebolu と Christensen と Minac の [CCM08; Ben+07; CCM12] である。 体の標数が \(p\) のとき, \(p\)群について考えている。位数2と3 の巡回群については成り立ち, それ以外の素数位数の巡回群では成り立たないことが示されている。また Klein four group と quaternion group でも成り立たないことが示されている。そして [CCM09] で, 体の標 数 \(p\) が群 \(G\) の位数を割り切る時に, generating hypothesis が成り立つための必要十分条件が, \(G\) の \(p\)-Sylow subgroup が位数 \(2\) か \(3\) の巡回群のときであることが示されている。

安定ホモトピー圏を modify したところでは, Devinatz が [Dev90] で \(E(1)\)-local な圏で \(Y\) が sphere spectrum の場合を証明している。

Equivariant version を述べているのが, Bohmann の[Boh10] である。その equivariant版の状況も含めて統一的に扱うために, Bohmann と May が, [BM12] でpresheaf に値を持つ functor に関する statement として定式化し直している。

• Generalized Generating Hypothesis: Triangulated category \(\bm{T}\) の translation で閉じた object の族の成す full subcategory \(\bm{B}\) と, それで生成された thick subcategory \(\bm{C}\) を考える。 Functor \[ F : \bm{T} \longrightarrow \category{Funct}(\bm{B}^{\op },\category{Abel}) \] を \(F(X)(Y)=\Hom (Y,X)\) で定義すると, \(F\) の \(\bm{C}\) への制限は faithful である。

この定式化を用いると, von Neumann regular ring に関する Lockridge らの結果が, 見通しよく証明できるようである。

\(C^*\)-algebra に基づいた noncommutative stable homotopy category での generating hypothesis については, Mahanta [Mah15] が考えている。

References

[Ben+07]

David J. Benson, Sunil K. Chebolu, J. Daniel Christensen, and Ján Mináč. “The generating hypothesis for the stable module category of a \(p\)-group”. In: J. Algebra 310.1 (2007), pp. 428–433. arXiv: math/0611403. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.12.013.

[BM12]

Anna Marie Bohmann and J. P. May. “A presheaf interpretation of the generalized Freyd conjecture”. In: Theory Appl. Categ. 26 (2012), No. 16, 403–411. arXiv: 1003.4224.

[Boh10]

Anna Marie Bohmann. “The equivariant generating hypothesis”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.2 (2010), pp. 1003–1016. arXiv: 0906.2740. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2010.10.1003.

[CCM08]

Sunil K. Chebolu, J. Daniel Christensen, and Ján Mináč. “Ghosts in modular representation theory”. In: Adv. Math. 217.6 (2008), pp. 2782–2799. arXiv: math/0609699. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.11.008.

[CCM09]

Jon F. Carlson, Sunil K. Chebolu, and Ján Mináč. “Freyd’s generating hypothesis with almost split sequences”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 137.8 (2009), pp. 2575–2580. arXiv: 0806.2165. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-09-09826-8.

[CCM12]

Sunil K. Chebolu, J. Daniel Christensen, and Ján Mináč. “Freyd’s generating hypothesis for groups with periodic cohomology”. In: Canad. Math. Bull. 55.1 (2012), pp. 48–59. arXiv: 0710.3356. url: http://dx.doi.org/10.4153/CMB-2011-090-5.

[Dev90]

Ethan S. Devinatz. “\(K\)-theory and the generating hypothesis”. In: Amer. J. Math. 112.5 (1990), pp. 787–804. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374807.

[Fre66]

Peter Freyd. “Stable homotopy”. In: Proc. Conf. Categorical Algebra (La Jolla, Calif., 1965). New York: Springer, 1966, pp. 121–172.

[HLP]

Mark Hovey, Keir Lockridge, and Gena Puninski. The generating hypothesis in the derived category of a ring. arXiv: math/0610201.

[Loc]

Keir H. Lockridge. The generating hypothesis in the derived category of \(R\)-modules. arXiv: math/0511534.

[Mah15]

Snigdhayan Mahanta. “On the generating hypothesis in noncommutative stable homotopy”. In: Math. Scand. 116.2 (2015), pp. 301–308. arXiv: 1302.2051.