Operads from Moduli Spaces

Moduli space の持つ構造が operad を成すことを発見したのは誰なのだろうか。

種数 \(0\) の marked point 付き Riemann 面の moduli space や, その Deligne-Mumford compactification の homology の operad の構造を最初に調べたのは, Getzler [Get95] と Kontsevich と Manin [KM94] のようである。

• 代数曲線や Riemann 面の moduli space

Kontsevich と Manin は, それにより cohomological field theory という \((1+1)\)-次元 topological conformal field theory の代数幾何学版を導入した。その目的は Gromov-Witten 不変量を調べることだったようである。Cohomological field theory については, Pandharipande の survey [Pan18] がある。

• cohomological field theory

Getzler は Dijkgraaf と Verlinde と Verlinde の [DVV91] に現れる構造に hypercommutative algebra という名前を付けた。そして, その構造を記述する operad が上記の moduli space の homology で得られる operad であることに気がついたのである。 また, Getzler は, [Get94] で gravity algebra を導入しているが, それを記述する operad は hypercommutative operad の Koszul dual である。

• hypercommutative operad と hypercommutative algebra
• gravity operad と gravity algebra

また, gravity operad 自身も moduli space の homology として得られる。 コンパクト化する前の genus \(0\) の Riemann面の moduli space であるが。

これらのことについては, Loday と Vallette の本 [LV12] の §13.11.2 にまとめられている。

Kimura, Stasheff, Voronov [KSV95] は, real compactification という別の種類の compactification に operad の構造を入れることを考えている。

Devadoss は [Dev99] で 種数 \(0\) Riemann 面の moduli space の実数版を考え, mosaic operad の概念を導入している。

• mosaic operad

このことについて, Devadoss は AMSの Notices に解説 [Dev04] を書いている。同じ号には Stasheff の operad についての解説 [Sta04] もある。

以上は種数 \(0\) の場合であるが, 高次の種数の Riemann 面の moduli space からは何ができるか, というのは当然の疑問である。 Getzler と Kapranov は, そのために [GK98] で modular operad の概念を導入している。

• modular operad

Moduli space の成す operad は homological stability を持つことから, より一般に位相空間の圏での “homological stability を持つ operad” という概念が [Bas+17] で導入されている。

• operad with homological stability

そのような operad 上の algebra の group completion を取ると, 無限ループ空間ができることが示されている。 例として, 高次元多様体の moduli space から成る operad が挙げられている。

References

[Bas+17]

Maria Basterra, Irina Bobkova, Kate Ponto, Ulrike Tillmann, and Sarah Yeakel. “Infinite loop spaces from operads with homological stability”. In: Adv. Math. 321 (2017), pp. 391–430. arXiv: 1612. 07791. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.09.036.

[Dev04]

Satyan L. Devadoss. “Combinatorial equivalence of real moduli spaces”. In: Notices Amer. Math. Soc. 51.6 (2004), pp. 620–628. arXiv: math-ph/0405011.

[Dev99]

Satyan L. Devadoss. “Tessellations of moduli spaces and the mosaic operad”. In: Homotopy invariant algebraic structures (Baltimore, MD, 1998). Vol. 239. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 91–114. arXiv: math/9807010.

[DVV91]

Robbert Dijkgraaf, Herman Verlinde, and Erik Verlinde. “Topological strings in \(d<1\)”. In: Nuclear Phys. B 352.1 (1991), pp. 59–86. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(91)90129-L.

[Get94]

E. Getzler. “Two-dimensional topological gravity and equivariant cohomology”. In: Comm. Math. Phys. 163.3 (1994), pp. 473–489. arXiv: hep-th/9305013. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104270581.

[Get95]

E. Getzler. “Operads and moduli spaces of genus \(0\) Riemann surfaces”. In: The moduli space of curves (Texel Island, 1994). Vol. 129. Progr. Math. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995, pp. 199–230. arXiv: alg-geom/9411004.

[GK98]

E. Getzler and M. M. Kapranov. “Modular operads”. In: Compositio Math. 110.1 (1998), pp. 65–126. arXiv: dg-ga/9408003. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1000245600345.

[KM94]

M. Kontsevich and Yu. Manin. “Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry”. In: Comm. Math. Phys. 164.3 (1994), pp. 525–562. arXiv: hep - th / 9402147. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104270948.

[KSV95]

Takashi Kimura, Jim Stasheff, and Alexander A. Voronov. “On operad structures of moduli spaces and string theory”. In: Comm. Math. Phys. 171.1 (1995), pp. 1–25. arXiv: hep-th/9307114. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104273401.

[LV12]

Jean-Louis Loday and Bruno Vallette. Algebraic operads. Vol. 346. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Heidelberg: Springer, 2012, pp. xxiv+634. isbn: 978-3-642-30361-6. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-30362-3.

[Pan18]

Rahul Pandharipande. “Cohomological field theory calculations”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians—Rio de Janeiro 2018. Vol. I. Plenary lectures. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, pp. 869–898. arXiv: 1712.02528.

[Sta04]

Jim Stasheff. “What is \(\dots \) an operad?” In: Notices Amer. Math. Soc. 51.6 (2004), pp. 630–631.