Khovanov Homotopy Type

Khovanov homology は, Jones polynomial を categorify するものであるが, その定義 (構成) は chain complex を用いたもので, 代数的トポロジーの視点からは, とても古臭く感じる。

代数的トポロジーにおけるホモロジーは, 公理で規定されるものであり, より具体的には spectrum を用いて表される。 そのような視点からは, Lipshitz と Sarkar の構成 [LS14] が「正しい」ものに思える。彼等は, そのホモロジーが Khovanov homology に同型になる spectrum を構成した。

一方, Everitt と Turner [ET14] は, その ホモトピー群が Khovanov homology と同型になる \(\Omega \)-spectrum を構成した。 Dold-Thomの定理から, Lipshitz と Sarkar の構成の無限対称積が Everitt と Turner の構成とホモトピー同値になりそうであるが, 実際 Everitt と Lipshitz と Sarkar と Turner は, [Eve+16] で, Everitt-Turner の構成が Eilenberg-Mac Lane space の直積であり, それが Lipshitz と Sarkar の構成の無限対称積とホモトピー同値であることを示している。

よって, Lipshitz と Sarkar の構成の方が基本的であり, それを link の Khovanov (stable) homotopy type と呼ぶようである。

Khovanov homotopy type の構成には, 他にも Hu, Kriz, Kriz のもの [HKK16] や, Lawson, Lipshitz, Sarkar の [LLS20] がある。 Lawson らは, これらの構成は全て stable homotopy equivalent であることを示している。 また [LLS17] では, ある combinatorial link invariant から Khovanov homotopy type を構成する方法が得られている。

これらについての解説として, Lipshitz と Sarkar の [LS18] がある。

変種や拡張も色々考えられている。

Khovanov は, [Kho02]で Khovanov homology を tangle に拡張したが, それに対応する stable homotopy type が Lawson, Lipshitz, Sarkar [LLS23] により構成されている。

Khovanov-Rozansky homology については, Jones, Lobb, Schuetz の [JLS19] やその拡張である Hu, Kriz, Somberg の [HKS19] がある。

Equivariant 版については, Borodzik らの [BPS21] や Stoffregen と Zhang の [SZ] があるが, Paliga [Pal] は, そ れらが equivariant に安定ホモトピー同値であることを示している。

Knot homology の spectrum 版というわけではないが, Khovanov の arc algebra [Kho02] の spectrum 版を Lawson, Lipshitz, Sarkar [LLS22] が定義している。

それを用いて, Dranowski, Guo, Lauda, Manion [Dra+] が categorified quantum group の \(2\)-representation を構成している。 Khovanov spectrum を構成するときに使われる技術は, 色々使えるようである。

References

[BPS21]

Maciej Borodzik, Wojciech Politarczyk, and Marithania Silvero. “Khovanov homotopy type, periodic links and localizations”. In: Math. Ann. 380.3-4 (2021), pp. 1233–1309. arXiv: 1807.08795. url: https://doi.org/10.1007/s00208-021-02157-y.

[Dra+]

Anne Dranowski, Meng Guo, Aaron Lauda, and Andrew Manion. Spectral 2-actions, foams, and frames in the spectrification of Khovanov arc algebras. arXiv: 2402.11368.

[ET14]

Brent Everitt and Paul Turner. “The homotopy theory of Khovanov homology”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.5 (2014), pp. 2747–2781. arXiv: 1112.3460. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2014.14.2747.

[Eve+16]

Brent Everitt, Robert Lipshitz, Sucharit Sarkar, and Paul Turner. “Khovanov homotopy types and the Dold-Thom functor”. In: Homology Homotopy Appl. 18.2 (2016), pp. 177–181. arXiv: 1202. 1856. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2016.v18.n2.a9.

[HKK16]

Po Hu, Daniel Kriz, and Igor Kriz. “Field theories, stable homotopy theory, and Khovanov homology”. In: Topology Proc. 48 (2016), pp. 327–360. arXiv: 1203.4773.

[HKS19]

Po Hu, Igor Kriz, and Petr Somberg. “Derived representation theory of Lie algebras and stable homotopy categorification of \(sl_k\)”. In: Adv. Math. 341 (2019), pp. 367–439. arXiv: 1810.10503. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.10.044.

[JLS19]

Dan Jones, Andrew Lobb, and Dirk Schütz. “An \(\mathfrak {sl}_n\) stable homotopy type for matched diagrams”. In: Adv. Math. 356 (2019), pp. 106816, 70. arXiv: 1506 . 07725. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.106816.

[Kho02]

Mikhail Khovanov. “A functor-valued invariant of tangles”. In: Algebr. Geom. Topol. 2 (2002), 665–741 (electronic). arXiv: math/ 0103190. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2002.2.665.

[LLS17]

Tyler Lawson, Robert Lipshitz, and Sucharit Sarkar. “The cube and the Burnside category”. In: Categorification in geometry, topology, and physics. Vol. 684. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2017, pp. 63–85. arXiv: 1505.00512.

[LLS20]

Tyler Lawson, Robert Lipshitz, and Sucharit Sarkar. “Khovanov homotopy type, Burnside category and products”. In: Geom. Topol. 24.2 (2020), pp. 623–745. arXiv: 1505 . 00213. url: https://doi.org/10.2140/gt.2020.24.623.

[LLS22]

Tyler Lawson, Robert Lipshitz, and Sucharit Sarkar. “Homotopy functoriality for Khovanov spectra”. In: J. Topol. 15.4 (2022), pp. 2426–2471. arXiv: 2104.12907. url: https://doi.org/10.1112/topo.12274.

[LLS23]

Tyler Lawson, Robert Lipshitz, and Sucharit Sarkar. “Khovanov spectra for tangles”. In: J. Inst. Math. Jussieu 22.4 (2023), pp. 1509–1580. arXiv: 1706.02346. url: https://doi.org/10.1017/S147474802100044X.

[LS14]

Robert Lipshitz and Sucharit Sarkar. “A Khovanov stable homotopy type”. In: J. Amer. Math. Soc. 27.4 (2014), pp. 983–1042. arXiv: 1112.3932. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-2014-00785-2.

[LS18]

Robert Lipshitz and Sucharit Sarkar. “Spatial refinements and Khovanov homology”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians—Rio de Janeiro 2018. Vol. II. Invited lectures. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, pp. 1153–1173. arXiv: 1709.03602.

[Pal]

Jakub Paliga. Equivariant Khovanov homotopy types. arXiv: 2401. 18073.

[SZ]

Matthew Stoffregen and Melissa Zhang. Localization in Khovanov homology. arXiv: 1810.04769.