多変数の微積分

多変数の微積分は, 学部1年次に学ぶことであるが, その延長として 可微分多様体がある。 多変数の微積分の定理の中で, 可微分多様体を学ぶために必要なのは, まず陰関数定理と逆関数定理だろうか。

• 陰関数定理
• 逆関数定理

一般的な微分積分学の教科書では, かなり限定された形でしか述べられていないので, 可微分多様体を学ぶときには, まず Spivak の本 [Spi65] で陰関数定理と逆関数定理を勉強するのが良いと思う。

通常の微積分の教科書での逆関数定理の仮定は \(C^1\)級であるが, 偏導関数の連続性は不要なのではないか, という質問を Tao が MathOverflow でしている。 そして, この話題について blog の記事にまとめている。文献としては, Cernovskii の [Čer64; Čer65] や Raymond の [Ray02] があるようである。Biasi と Gutierrez と dos Santos [BGS08] は, 彼等の “homological implicit function theorem” の応用として考えている。

多変数関数が1変数関数と大きく異なるのは, 極限を取る方向 (道) がたくさんあるからである。 それにより方向微分 (directional derivative) が考えられる。Huang と Marcantognini と Young [HMY06]は, 高次の方向微分を用いると, chain rule の高階導関数版 (いわゆる Faà di Bruno の公式) がきれいに書けることを示している。このようなことが, 最近まで知られていなかったのは驚きである。

• directional derivative を用いた higher chain rule

ホモロジー (chain complex) の概念は, Stokes の定理を知っていると理解し易い, かもしれない。Stokes の定理だけでなく, 多変数の微分積分 (ベクトル解析) は代数的トポロジーにとっても重要な基礎である。 そのことを意識した教科書として [Ful95] や [MT97] がある。

• Stokesの定理
• 微分形式の積分
• de Rham cohomology

低次元では, Gauss の発散定理とか Green の公式と呼ばれる version がある。 これらは, ベクトル解析の話題だろうが。

References

[BGS08]

Carlos Biasi, Carlos Gutierrez, and Edivaldo L. dos Santos. “The implicit function theorem for continuous functions”. In: Topol. Methods Nonlinear Anal. 32.1 (2008), pp. 177–185. arXiv: 0706.3905.

[Čer64]

A. V. Černavskiı̆. “Finite-to-one open mappings of manifolds”. In: Mat. Sb. (N.S.) 65 (107) (1964), pp. 357–369.

[Čer65]

A. V. Černavskiı̆. “Addendum to the paper “Finite-to-one open mappings of manifolds””. In: Mat. Sb. (N.S.) 66 (108) (1965), pp. 471–472.

[Ful95]

William Fulton. Algebraic topology. Vol. 153. Graduate Texts in Mathematics. A first course. Springer-Verlag, New York, 1995, pp. xviii+430. isbn: 0-387-94326-9; 0-387-94327-7. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4180-5.

[HMY06]

H.-N. Huang, S. A. M. Marcantognini, and N. J. Young. “Chain rules for higher derivatives”. In: Math. Intelligencer 28.2 (2006), pp. 61–69. url: https://doi.org/10.1007/BF02987158.

[MT97]

Ib Madsen and Jørgen Tornehave. From calculus to cohomology. de Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, pp. viii+286. isbn: 0-521-58059-5; 0-521-58956-8.

[Ray02]

Jean Saint Raymond. “Local inversion for differentiable functions and the Darboux property”. In: Mathematika 49.1-2 (2002), 141–158 (2004). url: http://dx.doi.org/10.1112/S0025579300016132.

[Spi65]

Michael Spivak. Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1965, pp. xii+144.