DG category

代数幾何学や有限次代数の表現論など, ホモロジー代数が有用な役割を果してきた分野では, Abelian category から chain complex の category を作り, その quasi-isomorphism を invert することにより derived category を作り, その triagulated category としての性質を調べることにより, 様々な情報を得てきた。

しかし chain complex の category での quasi-isomorphism は, 標準的な model structure での weak equivalence なので, derived category を作る操作は model category の homotopy category を取る操作になっている。

当然 homotopy category を取る前で考えたくなるが, 重要なことは, Abelian category \(\bm {A}\) が可換環 \(k\) 上 linear な場合, \(\bm {A}\) の chain complex の category は \(k\) 上の chain complex の category で enrich された category, つまり differential graded category (dg category) になることである。 その一般化である \(A_{\infty }\)-category も同様の目的で使われている。

• differential graded category (dg category)
• \(A_{\infty }\)-category

DG category を最初に考えたのは G.M. Kelly [Kel65] らしい。このような歴史的なことも含めた dg category 全般については, B. Keller の survey [Kel06] をみるとよい。 Toën の lecture note [Toë11] もある。 基本的な性質の中には, 一般の enriched category の性質として証明できるものも多いので, Kelly の本 [Kel82] も見るとよいと思う。

代数幾何学で dg category を使う動機については, [Shk13] の Introduction に簡潔にまとめられている。 数理物理学では, Kontsevich が matrix factorizatioin の dg category を Landau-Ginzburg model における B-model を記述するのに使うことを提案している。

DG category \(\bm {A}\) の homotopy category を取る操作は, まず2つの object \(x,y\) の間の morphism の成す chain complex \(\bm {A}(x,y)\) から \(0\)-cycle の成す加群 \(Z_{0}(\bm {A})(x,y)\) を取ることと, それを \(0\)-boundary の成す加群 \(B_{0}(\bm {A})(x,y)\) で割ることの2段階から成る。 つまり \(H_{0}(\bm {A})(x,y)\) を morphism の成す加群とする category である。 \(Z_{0}(\bm {A})(x,y)\) を morphism の成す加群とする category もできるので, それを \(Z_{0}(\bm {A})\) と書く。Toën [Toë11] は, \(Z_{0}(\bm {A})\) を \(\bm {A}\) の underlying category と呼んで \(\underline {\bm {A}}\) と書いている。

• underlying category of dg category
• homotopy category of dg category

一般の dg category の homotopy category は triangulated category になるとは限らないので, homotopy category が triangulated category になるための条件を考えたくなる。 これについては, Bondal と Kapranov の [BK90] が最も有名である。

• pretriangulated dg category
• enhanced triangulated category

例としては, まず dg algebra を object 1つの dg category とみなしたものがある。また, chain complex の category も基本的な例である。

• dg category としての dg algebra
• dg category としての chain complex の category
• matrix factorization から得られる dg category

幾何学的なものとしては, 例えば Cooper [Coo24] が曲面から定義した contact category がある。Homotopy category が triangulated category になっているので, これは pretriangulated dg category である。

Enhanced triangulated category のモデルとしては, dg category の他に, 最近は stable \(\infty \)-category もあるが, dg category から \((\infty ,1)\)-category, そして pretriangulated dg category から stable \(\infty \)-category を作る方法として, dg nerve がある。

• dg nerve

Dg category の間の morphism を考えるときには, homology の同型を誘導するものは invertible であると思いたい。つまり \[ \bm {A} \larrow {f} \bm {B} \rarrow {g} \bm {C} \] で \(f\) が quasi-equivalence のとき, \(\bm {A}\) から \(\bm {C}\) に morphism があると思いたい。Vologodsky [Vol10] ではそのようなものは, quasi-functor と呼ばれている。Quasi-functor については, Genovese の [Gen17] で詳しく調べられている。

• dg category の間の dg functor
• dg category の間の quasi-equivalence
• dg category の間の quasi-functor

Dg category \(\bm {A}\) の object \(a\) に対し, morphism の集合 \(\bm {A}(a,a)\) は morphism の合成を積として dg algebra になる。 特に, 唯一つの object を持つ dg category は, dg algebra と同一視できる。 この意味で, dg category は dg algebra の一般化になっている。 このように (\(k\)-linear) category を “ ring with many objects” とみなすのは, よくやる手である。

この視点からは, dg algebra \(\bm {A}(a,a)\) 上の module は, \(\bm {A}\) から dg module の category への functor \[ F : \bm {A} \longrightarrow \category {dg}(\lMod {k}) \] による \(a\) の像 \(F(a)\) と同一視できる。これを一般化して dg category の module を定義できる。

• dg category 上の left module と right module

このように, dg algebra に関することは, そのderived category の構成も含め, ほとんど dg category に一般化することができる。例えば, dg category の module の圏は Frobeinus category になるし, その homotopy category は triangulated category になる。Homotopy category で quasi-isomorphism を localize して derived category が定義される。

• dg category の derived category

Karabas と Lee の [KL] では, semifree dg algebra の dg category 版が定義されている。

• semifree dg category

そして semifree dg category に対し cylinder object を定義することにより, semifree dg category の homotopy colimit の記述を得ている。

ホモトピーと言えば変形であるが, dg category の object の deformation theory について考えているのは, Efimov と Lunts と Orlov [ELO09; ELO10; ELO11] である。

Dg category の圏では様々な構成が行なえる。これが triangulated category と 比較したときの dg category の最大の利点の一つだろう。例えば, triagulated category への 群の作用を考えるときに, dg enhancement を使っているのは, Sosna の [Sos12] である。

• dg category の category

Ringel により Abelian category に対して定義された Hall algebra の構成も, Toën [Toë06] により dg category に一般化されている。

• dg category の Hall algebra

Dg category は chian complex の category で enrich された category であるが, Tabuada は, その “topological version”, つまり chain complex の category を spectrum の category に変えたものを考える方が本質的であると考えているようである。Tabuada は spectral category と呼んでいる。

• spectral category

他にも, dg category の一般化や変種は色々考えられている。

• generalizations and variations of dg categories

References

[BK90]

A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Framed triangulated categories”. In: Mat. Sb. 181.5 (1990), pp. 669–683.

[Coo24]

Benjamin Cooper. “Formal contact categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 24.5 (2024), pp. 2389–2449. arXiv: 1511.04765. url: https://doi.org/10.2140/agt.2024.24.2389.

[ELO09]

Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. “Deformation theory of objects in homotopy and derived categories. I. General theory”. In: Adv. Math. 222.2 (2009), pp. 359–401. arXiv: math/0702838. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2009.03.021.

[ELO10]

Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. “Deformation theory of objects in homotopy and derived categories. II. Pro-representability of the deformation functor”. In: Adv. Math. 224.1 (2010), pp. 45–102. arXiv: math/0702839. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2009.11.004.

[ELO11]

Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. “Deformation theory of objects in homotopy and derived categories III: Abelian categories”. In: Adv. Math. 226.5 (2011), pp. 3857–3911. arXiv: math/0702840. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.11.003.

[Gen17]

Francesco Genovese. “Adjunctions of quasi-functors between DG-categories”. In: Appl. Categ. Structures 25.4 (2017), pp. 625–657. arXiv: 1510.04885. url: https://doi.org/10.1007/s10485-016-9470-y.

[Kel06]

Bernhard Keller. “On differential graded categories”. In: International Congress of Mathematicians. Vol. II. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 151–190. arXiv: math/0601185.

[Kel65]

G. M. Kelly. “Chain maps inducing zero homology maps”. In: Proc. Cambridge Philos. Soc. 61 (1965), pp. 847–854. url: https://doi.org/10.1017/s0305004100039207.

[Kel82]

Gregory Maxwell Kelly. Basic concepts of enriched category theory. Vol. 64. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1982, p. 245. isbn: 0-521-28702-2.

[KL]

Dogancan Karabas and Sangjin Lee. Homotopy Colimits of DG Categories and Fukaya Categories. arXiv: 2109.03411.

[Shk13]

D. Shklyarov. “Hirzebruch-Riemann-Roch-type formula for DG algebras”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 106.1 (2013), pp. 1–32. arXiv: 0710.1937. url: https://doi.org/10.1112/plms/pds034.

[Sos12]

Pawel Sosna. “Linearisations of triangulated categories with respect to finite group actions”. In: Math. Res. Lett. 19.5 (2012), pp. 1007–1020. arXiv: 1108.2144. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2012.v19.n5.a4.

[Toë06]

Bertrand Toën. “Derived Hall algebras”. In: Duke Math. J. 135.3 (2006), pp. 587–615. arXiv: math/0501343. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-06-13536-6.

[Toë11]

Bertrand Toën. “Lectures on dg-categories”. In: Topics in algebraic and topological \(K\)-theory. Vol. 2008. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 2011, pp. 243–302. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0.

[Vol10]

Vadim Vologodsky. “On the derived DG functors”. In: Math. Res. Lett. 17.6 (2010), pp. 1155–1170. arXiv: 1004.1918. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2010.v17.n6.a14.