DG category

代数幾何学や有限次代数の表現論など, ホモロジー代数が有用な役割を果してきた分野では, Abelian category から derived category を作り, その triagulated category としての性質を調べることにより, 様々な情報を得てきた。しかし model category を知っている人間から見ると, derived category にしてしまわないで, chain complex のままで考えた方がいいのではないか, と思ってしまう。

それに対する代数の世界での解答の一つが differential graded category (dg category), そしてその一般化である \(A_{\infty }\)-category である。つまり, triangulated category を作る一歩前の段階として dg category を考えようと言うのである。

• differential graded category (dg category)
• \(A_{\infty }\)-category

そのようなことを考えたものとしては, Bondal と Kapranov の [BK90] が最も有名である。彼等は, homotopy category が triangulated category になるための dg category に関する条件を考えた。そのような dg category を 元の triangulated category の dg enhancement という。

• pretriangulated dg category
• enhanced triangulated category

Enhanced triangulated category のモデルとしては, 最近は stable \(\infty \)-category もあるが, dg category から \((\infty ,1)\)-category, そして pretriangulated dg category から stable \(\infty \)-category を作る方法として, dg nerve がある。

• dg nerve

代数幾何学で dg category を使う動機については, [Shk13] の Introduction に簡潔にまとめられている。 数理物理学では, Kontsevich が matrix factorizatioin の dg category を Landau-Ginzburg model における B-model を記述するのに使うことを提案している。

Dg category を最初に考えたのは G.M. Kelly [Kel65] らしい。このような歴史的なことも含めた dg category 全般については, B. Keller の survey [Kel06] をみるとよい。 Toën の lecture note [Toë11] もある。

Dg category の間の morphism を考えるときには, homology の同型を誘導するものは invertible であると思いたい。つまり \[ \bm{A} \larrow{f} \bm{B} \rarrow{g} \bm{C} \] で \(f\) が quasi-equivalence のとき, \(\bm{A}\) から \(\bm{C}\) に morphism があると思いたい。Vologodsky [Vol10] ではそのようなものは, quasi-functor と呼ばれている。

• dg category の間の dg functor
• dg category の間の quasi-equivalence
• dg category の間の dg quasi-functor

Dg category \(\bm{A}\) の object \(a\) に対し, morphism の集合 \(\bm{A}(a,a)\) は morphism の合成を積として dg algebra になる。 特に, 唯一つの object を持つ dg category は, dg algebra と同一視できる。 この意味で, dg category は dg algebra の一般化になっている。 このように (\(k\)-linear) category を “ring with many objects” とみなすのは, よくやる手である。

この視点からは, dg algebra \(\bm{A}(a,a)\) 上の module は, \(\bm{A}\) から dg module の category への functor \[ F : \bm{A} \longrightarrow \category{dg}(\lMod{k}) \] による \(a\) の像 \(F(a)\) と同一視できる。これを一般化して dg category の module を定義できる。

• dg category 上の left module と right module

このように, dg algebra に関することは, そのderived category の構成も含め, ほとんど dg category に一般化することができる。例えば, dg category の module の圏は Frobeinus category になるし, その homotopy category は triangulated category になる。Homotopy category で quasi-isomorphism を localize して derived category が定義される。

• dg category の derived category

ホモトピーと言えば変形であるが, dg category の object の deformation theory について考えているのは, Efimov と Lunts と Orlov [ELO09; ELO10; ELO11] である。

Dg category の圏では様々な構成が行なえる。これが triangulated category と 比較したときの dg category の最大の利点の一つだろう。例えば, triagulated category への 群の作用を考えるときに, dg enhancement を使っているのは, Sosna の [Sos12] である。

• dg category の category

Ringel により Abelian category に対して定義された Hall algebra の構成も, Toën [Toë06] により dg category に一般化されている。

• dg category の Hall algebra

Tabuada は, dg category よりも, その “topological version”, つまり chain complex の圏を spectrum の圏に変えたものを考える方が本質的であると考えているようである。Tabuada は spectral category と呼んでいる。

• spectral category

dg algebra に対しては curved 版があるが, dg category に対しても curved dg category を考えることができる。Polishchuk と Positselski の [PP12] など。

• curved dg category

dg algebra の変種としては, 標数 \(p\) 上の graded algebra で 微分が \(d^p=0\) をみたす \(p\)-dg algebra というものがある。 Elias と Qi [EQ16] では, その many-objectification である \(p\)-dg category が登場する。

• \(p\)-dg category

Laugwitz と Miemietz の [LM20] では, その \(2\)-category 版が 考えられている。

References

[BK90]

A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Framed triangulated categories”. In: Mat. Sb. 181.5 (1990), pp. 669–683.

[ELO09]

Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. “Deformation theory of objects in homotopy and derived categories. I. General theory”. In: Adv. Math. 222.2 (2009), pp. 359–401. arXiv: math/0702838. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2009.03.021.

[ELO10]

Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. “Deformation theory of objects in homotopy and derived categories. II. Pro-representability of the deformation functor”. In: Adv. Math. 224.1 (2010), pp. 45–102. arXiv: math/0702839. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2009.11.004.

[ELO11]

Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. “Deformation theory of objects in homotopy and derived categories III: Abelian categories”. In: Adv. Math. 226.5 (2011), pp. 3857–3911. arXiv: math/0702840. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.11.003.

[EQ16]

Ben Elias and You Qi. “An approach to categorification of some small quantum groups II”. In: Adv. Math. 288 (2016), pp. 81–151. arXiv: 1302.5478. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.10.009.

[Kel06]

Bernhard Keller. “On differential graded categories”. In: International Congress of Mathematicians. Vol. II. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 151–190. arXiv: math/0601185.

[Kel65]

G. M. Kelly. “Chain maps inducing zero homology maps”. In: Proc. Cambridge Philos. Soc. 61 (1965), pp. 847–854. url: https://doi.org/10.1017/s0305004100039207.

[LM20]

Robert Laugwitz and Vanessa Miemietz. “Cell 2-representations and categorification at prime roots of unity”. In: Adv. Math. 361 (2020), pp. 106937, 66. arXiv: 1706.07725. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.106937.

[PP12]

Alexander Polishchuk and Leonid Positselski. “Hochschild (co)homology of the second kind I”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 364.10 (2012), pp. 5311–5368. arXiv: 1010.0982. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2012-05667-4.

[Shk13]

D. Shklyarov. “Hirzebruch-Riemann-Roch-type formula for DG algebras”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 106.1 (2013), pp. 1–32. arXiv: 0710.1937. url: https://doi.org/10.1112/plms/pds034.

[Sos12]

Pawel Sosna. “Linearisations of triangulated categories with respect to finite group actions”. In: Math. Res. Lett. 19.5 (2012), pp. 1007–1020. arXiv: 1108.2144. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2012.v19.n5.a4.

[Toë06]

Bertrand Toën. “Derived Hall algebras”. In: Duke Math. J. 135.3 (2006), pp. 587–615. arXiv: math/0501343. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-06-13536-6.

[Toë11]

Bertrand Toën. “Lectures on dg-categories”. In: Topics in algebraic and topological \(K\)-theory. Vol. 2008. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 2011, pp. 243–302. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0.

[Vol10]

Vadim Vologodsky. “On the derived DG functors”. In: Math. Res. Lett. 17.6 (2010), pp. 1155–1170. arXiv: 1004.1918. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2010.v17.n6.a14.