Hochschild ホモロジーと関連した概念

Hochschild cohomology は, associative algebra に対し Hochschild [Hoc45] により導入された。 その元になる chain complex の定義は簡単で, \(k\) 上の associative algebra \(A\) を \(k\)-module の category の monoid object とみなし, \(k\)-module の category で bar construction を取るだけである。 そして, \(A\)-\(A\)-bimodule \(M\) が与えられたとき, \(M\) と \(A\otimes A^{\mathrm {op}}\) 上の tensor product を取ったり, \(\Hom \) を取ったりして, chain complex や cochain complex を得る。\(A\) 自身を \(A\)-\(A\)-bimodule とみなして, それを係数としたものを \(A\) の Hochschild (co)homology と言ったりする。

• associative algebra の Hochschild complex
• associative algebra の bimodule を係数とする Hochschild (co)homology

Bar construction は, \(A\otimes A^{\mathrm {op}}\) 上の \(k\) の free resolution なので, 結局 \(A\otimes A^{\mathrm {op}}\) 上のtensor product の derived functor が Hochschild homology, \(\Hom \) の derived functor が Hochschild cohomology である。

Gerstenhaber は, [Ger63] で, その上に cup積と compatible な Lie bracket を定義した。その構造は現在では Gerstenhaber bracket と呼ばれ, より一般にそのような構造を持つものは Gerstenhaber algebra と呼ばれている。

• Hochschild cohomology の cup 積
• Gerstenhaber bracket
• Gerstenhaber algebra

Hochschild cohomology の上の Gerstenhaber bracket については, 歴史的なことも含めて, Hermannの thesis [Her16] の Introduction が詳しい。それによると, Gerstenhaber bracket を triangulated category の言葉で解釈しようとした試みとしては, Keller の [Kel04] が唯一のもののようである。

• Hochschild cohomology は, derived Picard group の Lie algebra であり, Gerstenhaber backet は その Lie bracket

この derived Picard group というのは, Zimmermann ら [Zim96; RZ03; Yek99] により導入された invertible \(A\)-\(A\)-bimodule の complex の (isomorphism class の) 成す群のことである。

また Gerstenhaber bracket は, ある種の \(A_{\infty }\)-algebra の場合, Batalin-Vilkovisky algebra structure に由来することが Tradler [Tra08] により示されている。

Hochschild cohomology の Gerstenhaber algebra の構造に関しては, Deligne 予想 (とその解決) を知っておくべきだろう。

• Deligne conjecture

Gerstenhaber bracket の高次版として, brace operation と呼ばれるものがある。 どこで最初に定義されたのかよく分からないが, Gerstenhaber と Voronov の [GV95; VG95] に定義がある。 He と Li と Li の [HLL20] では, Getzler の [Get93; GJ] も参照されている。

• brace operation

Hochschild cochain に作用する operad については, Batanin と Berger と Markl の [BBM13] で調べられている。

関連した話題として, Kontsevich の smooth manifold 上の関数環の Hochschild cochain の formality [Kon03] がある。 いくつかの異なるアプローチがあり, また様々な応用がある。Dolgushev と Tamarkin と Tsygan の解説 [DTT09] を見るとよい。

(代数) 多様体の cohomology と Hochschild homology の関係としては, Hochschild-Kostant-Rosenberg の定理 [HKR62] が有名である。 Connes の論文や Loday の本が挙げられていることからも分かるように, cyclic homology 版を同時に理解しておくことも重要である。

• Hochschild-Kostant-Rosenberg の定理

この cyclic homology を始めとして, Hochschild homology と関連した homology や cohomology は色々ある。

• Hochschild (co)homology に関連した構成やその拡張

Eu [Eu10] によると, Daletski と Gel\('\)fand と Tsygan の [GDT89] では, Hochschild homology と cohomology を同時に考えたものは, “calculus” という構造を持つことが示されている。もちろん, Goodwillie の意味の calculus とは全く別ものである。Eu の論文では, Cuntz らの本 [CST04] が参照されている。 Eu は, 標数 \(0\) の体上の Dynkin quiver の preprojective algebra の場合の構造を計算している。

Batalin-Vilkovisky algebra と言えば, string topology であるが, これらの関係については Vaintrob の [Vai] を見るとよい。

2つの (dg) algebra が derived equivalent なときに Hochschild cochain complex level で何が言えるかを考えたものとして, Keller の [Kel] がある。\(B_{\infty }\)-structure も保たれるようである。

トポロジーとの関係では, small category の (分類空間の) ホモロジーとの関連もある。Gerstenhaber と Schack は [GS83] で, small category の incidence algebra (diagram algebra) の Hochschild cohomology が, その nerve の simplicial cohomology と同型であることを示している。

Hochschild homology と cohomology の間の duality は, van den Bergh により, [Ber98; Ber02] で, smooth algebra に対し証明された。

• van den Bergh duality

標数 \(0\) の多項式環の Hochschild cochain complex が differential graded Lie algebra の圏で formal, つまりその cohomology と quasi-isomorphic である, というのが Kontsevich の formality theorem の affine空間の場合を代数的に表したものであり, Tamarkin による別証 [Tam] が知られている。Hinich による解説 [Hin03] もある。

Tsygan は, Hochschild chain の場合を [Tsy99] で考え, formality に関する予想を立てている。

Hochschild homology を計算するための spectral sequence もいくつかある。 Brylinski の [Bry88] や Maszczyk の [Mas] など。

References

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