Hochschild ホモロジーと関連した概念

Hochschild cohomology は, associative algebra に対し Hochschild [Hoc45] により導入された。 その元になる chain complex の定義は簡単で, \(k\) 上の associative algebra \(A\) を \(k\)-module の category の monoid object とみなし, \(k\)-module の category で bar construction を取るだけである。 そして, \(A\)-\(A\)-bimodule \(M\) が与えられたとき, \(M\) と \(A\otimes A^{\mathrm {op}}\) 上の tensor product を取ったり, \(\Hom \) を取ったりして, chain complex や cochain complex を得る。

  • associative algebra の Hochschild complex
  • associative algebra の bimodule を係数とする Hochschild (co)homology

Gerstenhaber は, [Ger63] で, その上に cup積と compatible な Lie bracket を定義した。その構造は現在では Gerstenhaber bracket と呼ばれ, より一般にそのような構造を持つものは Gerstenhaber algebra と呼ばれている。

Hochschild cohomology の上の Gerstenhaber bracket については, 歴史的なことも含めて, Hermannの thesis [Her] の Introduction が詳しい。それによると, Gerstenhaber bracket を triangulated category の言葉で解釈しようとした試みとしては, Keller の [Kel04] が唯一のもののようである。

  • Hochschild cohomology は, derived Picard groupLie algebra であり, Gerstenhaber backet は その Lie bracket

この derived Picard group というのは, Zimmermann ら [Zim96; RZ03; Yek99] により導入された invertible \(A\)-\(A\)-bimodule の complex の (isomorphism class の) 成す群のことである。

また Gerstenhaber bracketは, ある種の \(A_{\infty }\)-algebra の場合, Batalin-Vilkovisky algebra structure に由来することが Tradler [Tra08] により示されている。

Hochschild cohomology の Gerstenhaber algebra の構造に関しては, Deligne 予想 (とその解決) を知っておくべきだろう。

Gerstenhaber bracket の高次版として, brace operation と呼ばれるものがある。 どこで最初に定義されたのかよく分からないが, Gerstenhaber と Voronov の [GV95; VG95] に定義がある。 He と Li と Li の [HLL] では, Getzler の [Get93; GJ] も参照されている。

  • brace operation

Hochschild cochain に作用する operad については, Batanin と Berger と Markl の [BBM13] で調べられている。

関連した話題として, Kontsevich の smooth manifold 上の関数環の Hochschild cochain の formality [Kon03] がある。 いくつかの異なるアプローチがあり, また様々な応用がある。Dolgushev と Tamarkin と Tsygan の解説 [DTT] を見るとよい。

多様体と Hochschild homology の関係としては, Hochschild-Kostant-Rosenberg の定理 [HKR62] が有名である。 Don Davis の mailing list で, Huebschmann は Connes の論文 [Con85], Loday の本 [Lod98], Loday の論文 [Lod15], Krasilshchi, Lychagin, Vinogradov の [KLV86], Khalkhali の本 [Kha13] を挙げていた。

Connes の論文や Loday の本が挙げられていることからも分かるように, cyclic homology 版を同時に理解しておくことも重要である。

この cyclic homology を始めとして, Hochschild homology と関連した homology や cohomology は色々ある。

Eu [Eu10] によると, Daletski と Gel\('\)fand と Tsygan の [GDT89] では, Hochschild homology と cohomology を同時に考えたものは, “calculus” という構造を持つことが示されている。もちろん, Goodwillie の意味の calculus とは全く別ものである。Eu の論文では, Cuntz らの本 [CST04] が参照されている。 Eu は, 標数 \(0\) の体上の Dynkin quiverpreprojective algebra の場合の構造を計算している。

Batalin-Vilkovisky algebra と言えば, string topology であるが, これらの関係については Vaintrob の [Vai] を見るとよい。

2つの (dg) algebra が derived equivalent なときに Hochschild cochain complex level で何が言えるかを考えたものとして, Keller の [Kel] がある。\(B_{\infty }\)-structure も保たれるようである。

トポロジーとの関係では, small category の (分類空間の) ホモロジーとの関連もある。Gerstenhaber と Schack は [GS83] で, small category の incidence algebra (diagram algebra) の Hochschild cohomology が, その nerve の simplicial cohomology と同型であることを示している。

Hochschild homology と cohomology の間の duality は, van den Bergh により, [Ber98; Ber02] で, smooth algebra に対し証明された。

  • Van den Bergh duality

標数 \(0\) の多項式環の Hochschild cochain complex が differential graded Lie algebra の圏で formal, つまりその cohomology と quasi-isomorphic である, というのが Kontsevich の formality theorem の affine空間の場合を代数的に表したものであり, Tamarkin による別証 [Tam] が知られている。Hinich による解説 [Hin03] もある。

Tsygan は, Hochschild chain の場合を [Tsy99] で考え, formality に関する予想を立てている。

Hochschild homology を計算するための spectral sequence もいくつかある。 Brylinski の [Bry88] や Maszczyk の [Mas] など。

References

[BBM13]

Michael Batanin, Clemens Berger, and Martin Markl. “Operads of natural operations I: Lattice paths, braces and Hochschild cochains”. In: OPERADS 2009. Vol. 26. Sémin. Congr. Soc. Math. France, Paris, 2013, pp. 1–33. arXiv: 0906.4097.

[Ber02]

Michel van den Bergh. “Erratum to: “A relation between Hochschild homology and cohomology for Gorenstein rings” [Proc. Amer. Math. Soc. 126 (1998), no. 5, 1345–1348; MR1443171 (99m:16013)]”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 130.9 (2002), 2809–2810 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-02-06684-4.

[Ber98]

Michel van den Bergh. “A relation between Hochschild homology and cohomology for Gorenstein rings”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 126.5 (1998), pp. 1345–1348. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-98-04210-5.

[Bry88]

Jean-Luc Brylinski. “A differential complex for Poisson manifolds”. In: J. Differential Geom. 28.1 (1988), pp. 93–114. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214442161.

[Con85]

Alain Connes. “Noncommutative differential geometry”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 62 (1985), pp. 257–360. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1985__62__257_0.

[CST04]

Joachim Cuntz, Georges Skandalis, and Boris Tsygan. Cyclic homology in non-commutative geometry. Vol. 121. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Operator Algebras and Non-commutative Geometry, II. Springer-Verlag, Berlin, 2004, pp. xiv+137. isbn: 3-540-40469-4. url: https://doi.org/10.1007/978-3-662-06444-3.

[DTT]

V. A. Dolgushev, D. E. Tamarkin, and B. L. Tsygan. Formality theorems for Hochschild complexes and their applications. arXiv: 0901.0069.

[Eu10]

Ching-Hwa Eu. “The calculus structure of the Hochschild homology/cohomology of preprojective algebras of Dynkin quivers”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.1 (2010), pp. 28–46. arXiv: 0706.2418. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.04.018.

[GDT89]

I. M. Gel\('\)fand, Yu. L. Daletskiı̆, and B. L. Tsygan. “On a variant of noncommutative differential geometry”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 308.6 (1989), pp. 1293–1297.

[Ger63]

Murray Gerstenhaber. “The cohomology structure of an associative ring”. In: Ann. of Math. (2) 78 (1963), pp. 267–288.

[Get93]

Ezra Getzler. “Cartan homotopy formulas and the Gauss-Manin connection in cyclic homology”. In: Quantum deformations of algebras and their representations (Ramat-Gan, 1991/1992; Rehovot, 1991/1992). Vol. 7. Israel Math. Conf. Proc. Ramat Gan: Bar-Ilan Univ., 1993, pp. 65–78.

[GJ]

Ezra Getzler and J. D. S. Jones. Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop spaces. arXiv: hep-th/9403055.

[GS83]

Murray Gerstenhaber and Samuel D. Schack. “Simplicial cohomology is Hochschild cohomology”. In: J. Pure Appl. Algebra 30.2 (1983), pp. 143–156. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(83)90051-8.

[GV95]

Murray Gerstenhaber and Alexander A. Voronov. “Homotopy \(G\)-algebras and moduli space operad”. In: Internat. Math. Res. Notices 3 (1995), 141–153 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792895000110.

[Her]

Reiner Hermann. Monoidal categories and the Gerstenhaber bracket in Hochschild cohomology. arXiv: 1403.3597.

[Hin03]

Vladimir Hinich. “Tamarkin’s proof of Kontsevich formality theorem”. In: Forum Math. 15.4 (2003), pp. 591–614. arXiv: math/ 0003052. url: http://dx.doi.org/10.1515/form.2003.032.

[HKR62]

G. Hochschild, Bertram Kostant, and Alex Rosenberg. “Differential forms on regular affine algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 102 (1962), pp. 383–408. url: https://doi.org/10.2307/1993614.

[HLL]

Weiqiang He, Si Li, and Yifan Li. G-twisted braces and orbifold Landau-Ginzburg Models. arXiv: 1801.04560.

[Hoc45]

G. Hochschild. “On the cohomology groups of an associative algebra”. In: Ann. of Math. (2) 46 (1945), pp. 58–67. url: https://doi.org/10.2307/1969145.

[Kel]

Bernhard Keller. Derived invariance of higher structures on the Hochschild complex. url: http://www.math.jussieu.fr/~keller/publ/dih.pdf.

[Kel04]

Bernhard Keller. “Hochschild cohomology and derived Picard groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 190.1-3 (2004), pp. 177–196. arXiv: math/0310221. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2003.10.030.

[Kha13]

Masoud Khalkhali. Basic noncommutative geometry. Second. EMS Series of Lectures in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2013, pp. xviii+239. isbn: 978-3-03719-128-6. url: http://dx.doi.org/10.4171/128.

[KLV86]

I. S. Krasil\('\)shchik, V. V. Lychagin, and A. M. Vinogradov. Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. Vol. 1. Advanced Studies in Contemporary Mathematics. Translated from the Russian by A. B. Sosinskiı̆. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1986, pp. xx+441. isbn: 2-88124-051-8.

[Kon03]

Maxim Kontsevich. “Deformation quantization of Poisson manifolds”. In: Lett. Math. Phys. 66.3 (2003), pp. 157–216. arXiv: q - alg / 9709040. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf.

[Lod15]

Jean-Louis Loday. “Free loop space and homology”. In: Free loop spaces in geometry and topology. Vol. 24. IRMA Lect. Math. Theor. Phys. Eur. Math. Soc., Zürich, 2015, pp. 137–156. arXiv: 1110.0405.

[Lod98]

Jean-Louis Loday. Cyclic homology. Second. Vol. 301. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Appendix E by Marı́a O. Ronco, Chapter 13 by the author in collaboration with Teimuraz Pirashvili. Springer-Verlag, Berlin, 1998, pp. xx+513. isbn: 3-540-63074-0. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-11389-9.

[Mas]

Tomasz Maszczyk. Maximal commutative subalgebras, Poisson geometry and Hochschild homology. arXiv: math/0603386.

[RZ03]

Raphaël Rouquier and Alexander Zimmermann. “Picard groups for derived module categories”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 87.1 (2003), pp. 197–225. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611503014059.

[Tam]

Dmitry E. Tamarkin. Another proof of M. Kontsevich formality theorem. arXiv: math/9803025.

[Tra08]

Thomas Tradler. “The Batalin-Vilkovisky algebra on Hochschild cohomology induced by infinity inner products”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 58.7 (2008), pp. 2351–2379. arXiv: math/0210150. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2008__58_7_2351_0.

[Tsy99]

B. Tsygan. “Formality conjectures for chains”. In: Differential topology, infinite-dimensional Lie algebras, and applications. Vol. 194. Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 261–274. arXiv: math/9904132.

[Vai]

Dmitry Vaintrob. The string topology BV algebra, Hochschild cohomology and the Goldman bracket on surfaces. arXiv: math/ 0702859.

[VG95]

A. A. Voronov and M. Gerstenkhaber. “Higher-order operations on the Hochschild complex”. In: Funktsional. Anal. i Prilozhen. 29.1 (1995), pp. 1–6, 96. url: https://doi.org/10.1007/BF01077036.

[Yek99]

Amnon Yekutieli. “Dualizing complexes, Morita equivalence and the derived Picard group of a ring”. In: J. London Math. Soc. (2) 60.3 (1999), pp. 723–746. arXiv: math/9810134. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024610799008108.

[Zim96]

Alexander Zimmermann. “Derived equivalences of orders”. In: Representation theory of algebras (Cocoyoc, 1994). Vol. 18. CMS Conf. Proc. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996, pp. 721–749.