Hochschild cohomology は, associative algebra に対し Hochschild [Hoc45] により導入された。
その元になる chain complex の定義は簡単で, \(k\) 上の associative algebra \(A\) を \(k\)-module の category の
monoid object とみなし, \(k\)-module の category で bar construction を取るだけである。 そして,
\(A\)-\(A\)-bimodule \(M\) が与えられたとき, \(M\) と \(A\otimes A^{\mathrm {op}}\) 上の tensor product を取ったり, \(\Hom \) を取ったりして, chain complex や
cochain complex を得る。
- associative algebra の Hochschild complex
- associative algebra の bimodule を係数とする Hochschild (co)homology
Gerstenhaber は, [Ger63] で, その上に cup積と compatible な Lie bracket を定義した。その構造は現在では
Gerstenhaber bracket と呼ばれ, より一般にそのような構造を持つものは Gerstenhaber algebra
と呼ばれている。
Hochschild cohomology の上の Gerstenhaber bracket については, 歴史的なことも含めて, Hermannの
thesis [Her] の Introduction が詳しい。それによると, Gerstenhaber bracket を triangulated
category の言葉で解釈しようとした試みとしては, Keller の [Kel04] が唯一のもののようである。
この derived Picard group というのは, Zimmermann ら [Zim96; RZ03; Yek99] により導入された
invertible \(A\)-\(A\)-bimodule の complex の (isomorphism class の) 成す群のことである。
また Gerstenhaber bracketは, ある種の \(A_{\infty }\)-algebra の場合, Batalin-Vilkovisky algebra
structure に由来することが Tradler [Tra08] により示されている。
Hochschild cohomology の Gerstenhaber algebra の構造に関しては, Deligne 予想 (とその解決)
を知っておくべきだろう。
Gerstenhaber bracket の高次版として, brace operation と呼ばれるものがある。 どこで最初に定義されたのかよく分からないが,
Gerstenhaber と Voronov の [GV95; VG95] に定義がある。 He と Li と Li の [HLL] では, Getzler の
[Get93; GJ] も参照されている。
Hochschild cochain に作用する operad については, Batanin と Berger と Markl の [BBM13]
で調べられている。
関連した話題として, Kontsevich の smooth manifold 上の関数環の Hochschild cochain の formality
[Kon03] がある。 いくつかの異なるアプローチがあり, また様々な応用がある。Dolgushev と Tamarkin と Tsygan の解説
[DTT] を見るとよい。
多様体と Hochschild homology の関係としては, Hochschild-Kostant-Rosenberg の定理 [HKR62]
が有名である。 Don Davis の mailing list で, Huebschmann は Connes の論文 [Con85], Loday の本
[Lod98], Loday の論文 [Lod15], Krasilshchi, Lychagin, Vinogradov の [KLV86], Khalkhali
の本 [Kha13] を挙げていた。
Connes の論文や Loday の本が挙げられていることからも分かるように, cyclic homology
版を同時に理解しておくことも重要である。
この cyclic homology を始めとして, Hochschild homology と関連した homology や cohomology
は色々ある。
Eu [Eu10] によると, Daletski と Gel\('\)fand と Tsygan の [GDT89] では, Hochschild
homology と cohomology を同時に考えたものは, “calculus” という構造を持つことが示されている。もちろん,
Goodwillie の意味の calculus とは全く別ものである。Eu の論文では, Cuntz らの本 [CST04] が参照されている。 Eu
は, 標数 \(0\) の体上の Dynkin quiver の preprojective algebra の場合の構造を計算している。
Batalin-Vilkovisky algebra と言えば, string topology であるが, これらの関係については Vaintrob の
[Vai] を見るとよい。
2つの (dg) algebra が derived equivalent なときに Hochschild cochain complex level
で何が言えるかを考えたものとして, Keller の [Kel] がある。\(B_{\infty }\)-structure も保たれるようである。
トポロジーとの関係では, small category の (分類空間の) ホモロジーとの関連もある。Gerstenhaber と Schack は
[GS83] で, small category の incidence algebra (diagram algebra) の Hochschild
cohomology が, その nerve の simplicial cohomology と同型であることを示している。
Hochschild homology と cohomology の間の duality は, van den Bergh により, [Ber98;
Ber02] で, smooth algebra に対し証明された。
標数 \(0\) の多項式環の Hochschild cochain complex が differential graded Lie algebra の圏で
formal, つまりその cohomology と quasi-isomorphic である, というのが Kontsevich の formality
theorem の affine空間の場合を代数的に表したものであり, Tamarkin による別証 [Tam] が知られている。Hinich
による解説 [Hin03] もある。
Tsygan は, Hochschild chain の場合を [Tsy99] で考え, formality に関する予想を立てている。
Hochschild homology を計算するための spectral sequence もいくつかある。 Brylinski の [Bry88] や
Maszczyk の [Mas] など。
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