Incidence Algebras and Coalgebras

可換環 \(k\) と poset \(P\) が与えられたとき, incidence algebra という associative algebra \(I(P;k)\) を構成することができる。 Rota が [Rot64] で導入した, のだと思う。 Dür の本 [Dür86] がある。

Rota は, \(P\) の interval の集合上の \(k\) に値を持つ関数の成す \(k\)-module 上に interval の分解を用いて積を定義している。 \(P\) を small category とみなすと, \(P\) の interval の集合は \(P\) の morphism の集合 \(P_{1}\) と同一視できる。\(P_{1}\) で生成された free \(k\)-module を \(C(P;k)\) と表すと,

と表すことができるが, interval の分解は \(C(P;k)\) 上の coalgebra の構造を考えていることになる。 つまり, \(C(P;k)\) を coalgebra として定義し, その dual として incidence algebra \(I(P;k)\) を定義するのが自然である。この coalgebra \(C(P;k)\) を \(P\) の incidence coalgebra という。

• locally finite poset の incidence coalgebra
• locally finite poset の incidence algebra

この解釈では, poset を small category とみなして, その morphism の集合を用いているので, そのまま (locall finite) small category に一般化できる。実際それは Joni と Rota [JR79] により考えられている。 ここで small category \(X\) が locally finite であるとは, 任意の morphism \(f\) に対し, 集合 \(\set {(f_{1},f_{2})\in N_{2}(X)}{f=f_{1}\circ f_{2}}\) が有限になることである。

• locally finite category の incidence coalgebra
• locally finite category の incidence algebra

Incidence algebra を commutator により Lie algebra と思うと, counit (augmentation) の kernel は Lie subalgebra になる。 Coll と Gerstenhaber [CG16] は, それを Lie poset algebra と呼んで調べている。

• Lie poset algebra

最近 Coll らによって [CM21a], [CM21b], [Cam+23], [MR23], [CMR22] などで調べられている。

Small category から algebra を作る別の approach として, Gerstenhaber と Schack [GS83] による poset 上の associative algebra に値を持つ presheaf から作られる algebra がある。

• Gerstenhaber-Schack の diagram algebra

可換環 \(k\) に値を持つ constant functor の場合は, Grothendieck construction を取り, その category algebra を取ったものになる。 よって, monoid algebra の一般化になっているものであり, poset の incidence algebra とは別物であり, category algebra と呼ぶべきものである。

• category algebra

有限性 (局所有限性) を持たない poset の場合には, finitary incidence algebra というものを考える方がよいと主張するのは, Khripchenko と Novikov [KN09] である。

Poset の incidence algebra 上の Hopf algebra の構造について, Schmitt [Sch87; Sch94] が調べている。その category 版を Szczesny [Szc11] が定義し, incidence category と呼んでいる。

• poset の family の incidence category

References

[Cam+23]

Alex Cameron, Vincent E. Coll Jr., Nicholas Mayers, and Nicholas Russoniello. “The breadth of Lie poset algebras”. In: Linear Multilinear Algebra 71.16 (2023), pp. 2565–2584. arXiv: 2105.02429. url: https://doi.org/10.1080/03081087.2022.2111545.

[CG16]

Vincent E. Coll Jr. and Murray Gerstenhaber. “Cohomology of Lie semidirect products and poset algebras”. In: J. Lie Theory 26.1 (2016), pp. 79–95. arXiv: 1407.0428.

[CM21a]

Vincent E. Coll Jr. and Nicholas W. Mayers. “The index of Lie poset algebras”. In: J. Combin. Theory Ser. A 177 (2021), Paper No. 105331, 34. arXiv: 1908.06573. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2020.105331.

[CM21b]

Vincent E. Coll Jr. and Nicholas W. Mayers. “Toral posets and the binary spectrum property”. In: J. Algebraic Combin. 54.4 (2021), pp. 1065–1093. url: https://doi.org/10.1007/s10801-021-01038-6.

[CMR22]

Vincent E. Coll Jr., Nicholas W. Mayers, and Nicholas Russoniello. “Contact Lie poset algebras”. In: Electron. J. Combin. 29.3 (2022), Paper No. 3.35, 22. url: https://doi.org/10.37236/10821.

[Dür86]

Arne Dür. Möbius functions, incidence algebras and power series representations. Vol. 1202. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1986, pp. xii+134. isbn: 3-540-16771-4.

[GS83]

Murray Gerstenhaber and Samuel D. Schack. “Simplicial cohomology is Hochschild cohomology”. In: J. Pure Appl. Algebra 30.2 (1983), pp. 143–156. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(83)90051-8.

[JR79]

S. A. Joni and G.-C. Rota. “Coalgebras and bialgebras in combinatorics”. In: Stud. Appl. Math. 61.2 (1979), pp. 93–139.

[KN09]

N. S. Khripchenko and B. V. Novikov. “Finitary incidence algebras”. In: Comm. Algebra 37.5 (2009), pp. 1670–1676. arXiv: 0803.0069. url: https://doi.org/10.1080/00927870802210019.

[MR23]

Nicholas W. Mayers and Nicholas Russoniello. “On toral posets and contact Lie algebras”. In: J. Geom. Phys. 190 (2023), Paper No. 104861, 27. arXiv: 2208.09060. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2023.104861.

[Rot64]

Gian-Carlo Rota. “On the foundations of combinatorial theory. I. Theory of Möbius functions”. In: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 2 (1964), 340–368 (1964).

[Sch87]

William R. Schmitt. “Antipodes and incidence coalgebras”. In: J. Combin. Theory Ser. A 46.2 (1987), pp. 264–290. url: http://dx.doi.org/10.1016/0097-3165(87)90006-9.

[Sch94]

William R. Schmitt. “Incidence Hopf algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 96.3 (1994), pp. 299–330. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(94)90105-8.

[Szc11]

Matt Szczesny. “Incidence categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.4 (2011), pp. 303–309. arXiv: 0910.5387. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.04.020.