Hochschild-Kostant-Rosenberg Theorem

Hochschild, Kostant, Rosenberg [HKR62] は, ある条件をみたす体 \(k\) 上の可換代数 \(A\) に対し, \(A\) を係数とする \(A\) の Hochschild homology \(HH_{*}(A;A)\) が \(\mathrm {Spec}(A)\) の \(k\) 上の algebraic de Rham complex と同一視できることを示した。Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem という。

Don Davis の mailing list で, Huebschmann は Connes の論文 [Con85], Loday の本 [Lod98], Loday の論文 [Lod15], Krasilshchi, Lychagin, Vinogradov の [KLV86], Khalkhali の本 [Kha13] を挙げていた。

一方, cyclic cohomology と de Rham homology (current を用いた homology) の関係は, Connes [Con85] により発見された。Loday と Quillen の [LQ84] は, その代数版である。 その negative cyclic homology 版と periodic cyclic homology 版は, Hood と Jones [HJ87] により得られた。

その後, Hochschild homology と cyclic homology の関係は, homology を取る前の段階で, ホモトピー論的に理解できるようになった。つまり, \(A\) を 係数とする \(A\) の Hochschild chain complex (の元になっている simplicial algebra) を \(S^{1}\) の作用を持つ simplicial algebra とみなし, その homotopy fixed point が negative cyclic homology の元になっている chain complex, そして Tate construction を取ったものが periodic cyclic homology の元になっている chain complex, という視点である。

この文脈では, Toën と Vezzosi による [TV11] がある。 彼等は, 可換環 \(k\) 上の \(S^{1}\)-equivariant simplicial commutative algebra の \((\infty ,1)\)-category と mixed complex の成す \((\infty ,1)\)-category を比較し, \(k\) が標数 \(0\) のとき, これらが symmetric monoidal \((\infty ,1)\)-category として同値であることを示した。 そして, Hochschild-Kostant-Rosenberg の対応が, この同値から得られることを示している。

標数が \(0\) でないときには derived 版がありそうであるが, それについては Raksit の [Rak] がある。単なる derived 版ではなく, Hochschild complex に filtration を入れ, その associated graded object が derived de Rham complex になることを示している。そして, 標数が \(0\) のときにその filtration が canonical に split とする, というわけである。

その bornological algebra 版が Kelly, Kreminizer, Mukherjee の [KKM] で得られている。

別の方向への一般化としては, McCarthy と Manasian [MM03] による ring spectrum 版がある。

References

[Con85]

Alain Connes. “Noncommutative differential geometry”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 62 (1985), pp. 257–360. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1985__62__257_0.

[HJ87]

Christine E. Hood and John D. S. Jones. “Some algebraic properties of cyclic homology groups”. In: \(K\)-Theory 1.4 (1987), pp. 361–384. url: https://doi.org/10.1007/BF00539623.

[HKR62]

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[Kha13]

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[KLV86]

I. S. Krasil\('\)shchik, V. V. Lychagin, and A. M. Vinogradov. Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. Vol. 1. Advanced Studies in Contemporary Mathematics. Translated from the Russian by A. B. Sosinskiı̆. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1986, pp. xx+441. isbn: 2-88124-051-8.

[Lod15]

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[Lod98]

Jean-Louis Loday. Cyclic homology. Second. Vol. 301. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Appendix E by Marı́a O. Ronco, Chapter 13 by the author in collaboration with Teimuraz Pirashvili. Springer-Verlag, Berlin, 1998, pp. xx+513. isbn: 3-540-63074-0. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-11389-9.

[LQ84]

Jean-Louis Loday and Daniel Quillen. “Cyclic homology and the Lie algebra homology of matrices”. In: Comment. Math. Helv. 59.4 (1984), pp. 569–591. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02566367.

[MM03]

Randy McCarthy and Vahagn Minasian. “HKR theorem for smooth \(S\)-algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 185.1-3 (2003), pp. 239–258. arXiv: math/0306243. url: https://doi.org/10.1016/S0022-4049(03)00089-6.

[Rak]

Arpon Raksit. Hochschild homology and the derived de Rham complex revisited. arXiv: 2007.02576.

[TV11]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Algèbres simpliciales \(S^1\)-équivariantes, théorie de de Rham et théorèmes HKR multiplicatifs”. In: Compos. Math. 147.6 (2011), pp. 1979–2000. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X11005501.