Preprojective Algebra

Quiver \(\Gamma \) に対しては、その preprojective algebra \(\Pi (\Gamma )\) が定義される。Eu の [Eu] によると, これは Gel\('\)fand と Ponomarev [GP79] により定義されたものらしい。

解説としては, Reiten の AMS Notices の記事 [Rei97] が分かりやすいだろう。 Berger と Taillefer の [BT20] に書かれているように, どのようなところで使われているかを知りたければ, Grant と Iyama の [GI20] の Introduction を見るとよい。

Double を取ってできる quiver の path algebra を, ある ideal で割って定義するので, \(\Gamma \) は, quiver でなく, 向きの無いグラフでよい。

• ループの無い有限連結 グラフ \(\Gamma \) に対し, \(\Pi (\Gamma )\) が有限次元 (Artin 環) であるための必要十分条件は, \(\Gamma \) が Dynkin diagram であること。
• ループの無い有限連結グラフ \(\Gamma \) に対し, \(\Pi (\Gamma )\) が Noether 環であるための必要十分条件は, \(\Gamma \) が Dynkin diagram か extended Dynkin diagram であること。

Huerfano と Khovanov は, Khovanov と Seidel の [KS02] などで調べられている graph から作られた algebra (zigzag algebra と呼んでいる) と preprojective algebra の関係について [HK01] で述べている。

Etingof と Eu は, preprojective algebra の Hilbert series や Kozsul algebra になるかどうかを [EE07b] で調べている。Etingof は, また Rains との共著で preprojective algebra の central extension を定義 [ER06] している。

• Preprojective algebra の central extension

その motivation は, Dynkin quiver のときに deformation が良い性質を持たないことである。Etingof-Rains の central extension は, Dynkin quiver のときにも, 他の quiver と同様の性質を持つことが示されている。 例えば deformation が flat であるとか。

その後, Etingof は, Latour と Rains と central extension の deformation の center や \(A/[A,A]\) を [ELR07] で調べている。その結果を Hochschild homology や cyclic homology を用いて拡張しようというのが, Eu の [Eu] である。

• Deformed preprojective algebra の Hochschild cohomology は, period \(4\) を持つ

Etingof と Eu は, この Eu の論文の方法に基づいて, [EE07a] で ADE quiver の preprojective algebra の cyclic homology と Hochschild homology を計算している。Eu は [Eu08] で Hochschild cohomology の積構造を調べている。

Deform する前の preprojective algebra の Hochschild cohomology については, Erdmann と Snashall の [ES98b; ES98a] でも調べられている。

References

[BT20]

Roland Berger and Rachel Taillefer. “Koszul calculus of preprojective algebras”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 102.3 (2020), pp. 1241–1292. arXiv: 1905.07906. url: https://doi.org/10.1112/jlms.12362.

[EE07a]

Pavel Etingof and Ching-Hwa Eu. “Hochschild and cyclic homology of preprojective algebras of \(ADE\) quivers”. In: Mosc. Math. J. 7.4 (2007), pp. 601–612, 766. arXiv: math/0609006.

[EE07b]

Pavel Etingof and Ching-Hwa Eu. “Koszulity and the Hilbert series of preprojective algebras”. In: Math. Res. Lett. 14.4 (2007), pp. 589–596. arXiv: math/0512287.

[ELR07]

Pavel Etingof, Frédéric Latour, and Eric Rains. “On central extensions of preprojective algebras”. In: J. Algebra 313.1 (2007), pp. 165–175. arXiv: math/0606403. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.11.040.

[ER06]

Pavel Etingof and Eric Rains. “Central extensions of preprojective algebras, the quantum Heisenberg algebra, and 2-dimensional complex reflection groups”. In: J. Algebra 299.2 (2006), pp. 570–588. arXiv: math/0503393. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.01.005.

[ES98a]

Karin Erdmann and Nicole Snashall. “On Hochschild cohomology of preprojective algebras. I, II”. In: J. Algebra 205.2 (1998), pp. 391–412, 413–434. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1998.7547.

[ES98b]

Karin Erdmann and Nicole Snashall. “Preprojective algebras of Dynkin type, periodicity and the second Hochschild cohomology”. In: Algebras and modules, II (Geiranger, 1996). Vol. 24. CMS Conf. Proc. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1998, pp. 183–193.

[Eu]

Ching-Hwa Eu. Hochschild and cyclic homology of central extensions of preprojective algebras of ADE quivers. arXiv: math/0606412.

[Eu08]

Ching-Hwa Eu. “The product in the Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of Dynkin quivers”. In: J. Algebra 320.4 (2008), pp. 1477–1530. arXiv: math/0703568. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2008.02.020.

[GI20]

Joseph Grant and Osamu Iyama. “Higher preprojective algebras, Koszul algebras, and superpotentials”. In: Compos. Math. 156.12 (2020), pp. 2588–2627. arXiv: 1902.07878. url: https://doi.org/10.1112/s0010437x20007538.

[GP79]

I. M. Gel\('\)fand and V. A. Ponomarev. “Model algebras and representations of graphs”. In: Funktsional. Anal. i Prilozhen. 13.3 (1979), pp. 1–12.

[HK01]

Ruth Stella Huerfano and Mikhail Khovanov. “A category for the adjoint representation”. In: J. Algebra 246.2 (2001), pp. 514–542. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.2001.8962.

[KS02]

Mikhail Khovanov and Paul Seidel. “Quivers, Floer cohomology, and braid group actions”. In: J. Amer. Math. Soc. 15.1 (2002), 203–271 (electronic). arXiv: math/0006056. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-01-00374-5.

[Rei97]

Idun Reiten. “Dynkin diagrams and the representation theory of algebras”. In: Notices Amer. Math. Soc. 44.5 (1997), pp. 546–556.