Hochschild cochain に関する Deligne 予想

Gerstenhaber [Ger63] は, associative algebra の Hochchild cohomology は, Gerstenhaber algebra と呼ばれる構造を持つことを示した。その構造を誘導する cochain level の構造があるはずであるが, それが little disk operad の singular chain complex の作用として表わされるというのが Deligne の予想だった。Vallette の [Val08] によると, 1993年の Stasheff, Gerstenhaber, May, Schechtman, Drinfel\('\)d への手紙の中に書かれていたようである。

Deligne 予想は, 今では数多くの証明が知られている。Kaufmann と Schwell の [KS10] によると以下のものがある:

• Kontsevich [Kon99]
• Tamarkin [Tam; Tam03]
• A. Voronov [Vor00]
• McClure と J. Smith [MS02; MS03]
• Kontsevich と Soibelman [KS00]
• Berger と Fresse [BF02]
• Kaufmann [Kau07]

Shoikhet の [Sho] によると, Tamarkin の thesis [Tam] での Kontsevich formality theorem の証明に使われたことにより, 様々な人が Deligne 予想の証明を考えるようになったようである。

また様々な一般化の試みもある。

Kontsevich [Kon99] は, Deligne予想の高次元版について議論しているが, そこで“Claim 1”として書かれていることは, 誰もが思うような高次元の little cubes operad を用いた高次元化とは異なり, Voronov の Swiss cheese operad [Vor99] を用いたものである。これについては, 通常の Deligne予想の拡張の場合が Dolgushev と Tamarkin と Tsygan [DTT] により示されている。 高次元の場合は, J.D. Thomas [Tho] により証明されたようである。

ストレートな一般化 (高次元化) は, Hu と Kriz と Voronov という三人組 [HKV06] により解決された。 Hu と Kriz と Voronov の論文の中では, little \((k+\ell )\)-cubes operad の little \(k\)-cubes operad と \(\ell \)-cubes operad への分解が使われている。 これは, Dunn によって証明された [Dun88] ものである。

Bialgebra 版は Ginot と Yalin [GY] により考えられている。

別の一般化としては, category theory の視点から little \(2\)-cubes operad が作用する chain complex をより一般的な object にする方向もある。Kock と Toën が [KT05] で monoidal model category を用いて考えている formulation は興味深いが, 元の Deligne conjecture を含むものではない。Vallette が [Val08] で \(2\)-fold monoidal category を用いて考えている方法の方がよいかもしれない。 その方向では, Shoikhet [Sho] が \(n\)-fold monoidal Abelian category に対する Deligne予想の類似を証明している。

• \(n\)-fold monoidal Abelian category に対する Deligne予想

ただし, そこで \(n\)-fold monoidal category から得られるのは, homotopy Gerstenhaber operad 上の algebra ではなく, Leinster \((n+1)\)-algebra という構造であるが。

Lurie [Lur] は, little cubes operad の \(\infty \)-category 版を定義し, それに対する Deligne予想を証明している。

Kaufmann と Schwell の [KS10] は, \(A_{\infty }\)-algebra の場合を扱っている。

単位元を持つ associative algebra の Hochschild cochain には, サボテン operad の singular chain complex が作用することが知られている [Kau08; MS04] が, それを Sullivan chord diagram の作用に拡張したのが [TZ06] である。

Salvatore [Sal09] によると, Frobenius algebra の Hochschild complex に framed \(2\)-disk operad が作用するとい う statement を cyclic Deligne conjecture と呼ぶらしい。Kaufmann [Kau08] や Tradler と Zeinelian [TZ06] により証明された。

• cyclic Deligne conjecture

これは, genus \(0\) の Riemann面の moduli space の Hochschild complex への作用とみなすことができるので, それを高次の Riemann面に拡張しようというのは自然なアイデアである。実際, Costello [Cos07] により, そのよう な一般化が得られている。そこでは Frobenius algebra も \(A_{\infty }\)-category に一般化されている。

また, より一般に cyclic operad, そして topological cyclic operad に関する同様の予想が考えられる。 topological cyclic operad の場合が Salvatore の [Sal09] である。

Hochschild homology と cohomology の pair には, de Rham complex と polyvector field の関係を一般化する構造があることが知られているが, その構造は \(\mathcal {C}alc\) operad という operad を用いると記述できる。 Kontsevich と Soibelman [KS09] は, homology が \(\mathcal {C}alc\) operad になる topological operad を構成したが, それに対する Deligne conjecture の一般化が Horel [Hor] により得られている。

References

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