Adams型のスペクトル系列

Adams スペクトル系列は, 高次コホモロジー作用素による ホモトピー群の計算を systematic に行うために Adams が考えた [Ada58; Ada60] ものである。 一般的に構成し, その収束について議論するためには, 代数的な道具が必要になり, 勉強するにはかなり敷居が高い。

最初に勉強するときには, まず Eilenberg-Mac Lane 空間のコホモロジーと Serre スペクトル系列による球面のホモトピー群の計算を, ある程度自分でやってみてから, Adamsスペクトル系列を勉強するのがよいかもしれない。実際, 私が Rochester の学生だったときの Harper の講義は, そのように進められたように記憶している。

• 古典的Adamsスペクトル系列
• Adams-Novikovスペクトル系列
• unstable Adams および Adams-Novikov スペクトル系列

Adams-Novikov スペクトル系列は, Adams が Eilenberg-Mac Lane spectrum を使って行なった構成を, Novikov [Nov67] が 複素コボルディズムを用いて行なって構成したスペクトル系列である。 Novikov の論文の英訳は, この nLab の site からダウンロードできる。

古典的な構成は, sphere spectrum \(S\)上の module spectrum の圏での構成と見做せるが, Baker と Lazarev は, \(R\)-module spectrum の圏 での Adams spectral sequence の構成を [BL01] で行なっている。

古典的な場合は, \(E_2\)-term は Hopf algebra である Steenrod algebra 上の \(\Ext \) として記述できるが, 一般には Hopf algebroid を考えないといけない。

• Hopf algebroid

Baues らは, 球面の Adamsスペクトル系列の \(E_r\)-term を直接 \(\Ext \) として表わそうという試みを行っている。\(r=3\) の場合は [BJ06] である。

球面やそれに関連した空間の Adamsスペクトル系列の計算では, Lambda algebra が重要である。

• Lambda algebra

収束を議論するときには, 適当なcompletionが必要になる。Biedermann [Bie]は, そのために injective completion という概念を提案している。

群の作用を持つ空間に対しては, Borel cohomology を用いたものが考えられている。 Szymik [Szy07] によると, Greenlees [Gre88b; Gre88a; Gre90] により導入されたもののようである。

\(\Z /2\Z \)-equivariant な場合としては, Hu と Kriz [HK01] により導入された, Real-oriented cohomology に基づいた Adams-Novikov spectral sequence の類似もある。 Tilson [Til] は, Hu と Kriz の Adams spectral sequence で球面の \(\Z /2\Z \)-equivariant stable homotopy group に収束するものを調べている。

より一般的に, triangulated category で Adams spectral sequence の構成を考えることも行われている。Brinkmann の [Bri68], Franke の [Fra], Christensen の [Chr98], Meyer の [Mey08] など。 例えば, Christensen [Chr98] は, projective class か injective class を持つ triangulated category で Adams型のスペクトル系列が構成できることを述べている。

• triangulated category での Adamsスペクトル系列

Christensen と Frankland [CF17]は, その triangulated category での Adams スペクトル系列と Toda bracket の関係を調べている。

新しいアプローチとして, Pstragowski [Pst23] による synthetic spectrum がある。

• synthetic spectrum

最近では, Adams spectral sequence は, 物理の人も使うようである。 物性の理論で, cobordism group が現れるので, その計算を Adams spectral sequence で行おう, ということらしい。 Wan と Wang の [WW19] など。 このことは, クラウドファンディングでこのサイトの運営に参加してくれている大山さんに教えてもらった。

確かに, \(\mathrm {MU}\) を始めとして, この手の spectrum の mod \(p\) cohomology は, Steenrod algebra 上の module としてきれいな形をしているので, Adams spectral sequence を用いるのに適していて, 古くから cobordism の計算に使われている。 物性で登場する cobordism の計算に使われて, 不思議ではない。

References

[Ada58]

J. F. Adams. “On the structure and applications of the Steenrod algebra”. In: Comment. Math. Helv. 32 (1958), pp. 180–214. url: https://doi.org/10.1007/BF02564578.

[Ada60]

J. F. Adams. “On the non-existence of elements of Hopf invariant one”. In: Ann. of Math. (2) 72 (1960), pp. 20–104. url: https://doi.org/10.2307/1970147.

[Bie]

Georg Biedermann. Injective completion with respect to homology. arXiv: math/0412387.

[BJ06]

Hans-Joachim Baues and Mamuka Jibladze. “Secondary derived functors and the Adams spectral sequence”. In: Topology 45.2 (2006), pp. 295–324. arXiv: math/0407031. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2005.08.001.

[BL01]

Andrew Baker and Andrej Lazarev. “On the Adams spectral sequence for \(R\)-modules”. In: Algebr. Geom. Topol. 1 (2001), pp. 173–199. arXiv: math/0105079. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2001.1.173.

[Bri68]

Hans-Berndt Brinkmann. “Relative homological algebra and the Adams spectral sequence”. In: Arch. Math. (Basel) 19 (1968), pp. 137–155.

[CF17]

J. Daniel Christensen and Martin Frankland. “Higher Toda brackets and the Adams spectral sequence in triangulated categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.5 (2017), pp. 2687–2735. arXiv: 1510.09216. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.2687.

[Chr98]

J. Daniel Christensen. “Ideals in triangulated categories: phantoms, ghosts and skeleta”. In: Adv. Math. 136.2 (1998), pp. 284–339. arXiv: math/9807071. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1735.

[Fra]

Jens Franke. Uniqueness theorems for certain triangulated categories with an Adams spectral sequence. K-theory Preprint Archive 139. url: http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0139/.

[Gre88a]

J. P. C. Greenlees. “How blind is your favourite cohomology theory?” In: Exposition. Math. 6.3 (1988), pp. 193–208.

[Gre88b]

J. P. C. Greenlees. “Stable maps into free \(G\)-spaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 310.1 (1988), pp. 199–215. url: https://doi.org/10.2307/2001117.

[Gre90]

J. P. C. Greenlees. “The power of mod \(p\) Borel homology”. In: Homotopy theory and related topics (Kinosaki, 1988). Vol. 1418. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1990, pp. 140–151. url: https://doi.org/10.1007/BFb0083699.

[HK01]

Po Hu and Igor Kriz. “Real-oriented homotopy theory and an analogue of the Adams-Novikov spectral sequence”. In: Topology 40.2 (2001), pp. 317–399. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00065-8.

[Mey08]

Ralf Meyer. “Homological algebra in bivariant \(K\)-theory and other triangulated categories. II”. In: Tbil. Math. J. 1 (2008), pp. 165–210. arXiv: 0801.1344.

[Nov67]

S. P. Novikov. “Methods of algebraic topology from the point of view of cobordism theory”. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 31 (1967), pp. 855–951.

[Pst23]

Piotr Pstragowski. “Synthetic spectra and the cellular motivic category”. In: Invent. Math. 232.2 (2023), pp. 553–681. arXiv: 1803.01804. url: https://doi.org/10.1007/s00222-022-01173-2.

[Szy07]

Markus Szymik. “Equivariant stable stems for prime order groups”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.1 (2007), pp. 141–162. arXiv: 0712.3123.

[Til]

Sean Tilson. Squaring operations in the \(\mathrm {RO}(C_2)\)-graded and real motivic Adams spectral sequences. arXiv: 1702.04632.

[WW19]

Zheyan Wan and Juven Wang. “Higher anomalies, higher symmetries, and cobordisms I: classification of higher-symmetry-protected topological states and their boundary fermionic/bosonic anomalies via a generalized cobordism theory”. In: Ann. Math. Sci. Appl. 4.2 (2019), pp. 107–311. arXiv: 1812.11967. url: https://doi.org/10.4310/AMSA.2019.v4.n2.a2.