Steenrod Algebra

素数 \(p\) に対し, mod \(p\) Eilenberg-Steenrod の cohomology 上の cohomology operation 全体の成す \(\F _{p}\)-algebra を Steenrod algebra と言い, \(\cA _{p}\) で表す。

Steenrod operation のページで挙げた, Steenrod と Epstein の [Ste62] と May の [May70] が基本的文献であるが, どちらも古い。同じぐらい古いものであるが, Mosher と Tangora の [MT68] もある。少し新しいものとしては, Margolis の [Mar83] があるが, 初学者にはお勧めできない。 完全に代数的に扱ったものとして, Larry Smith の [Smi07] もあるが, これも最初に読むものではないと思う。

基本的な性質として, \(\cA _{p}\) が (graded) Hopf algebra になる, というものがある。よって, その相対 \(\cA _{p}^{*}\) も Hopf algebra になる。 この dual Steenrod algebra の方が, 積が可換になるので扱い易い, ということに最初に気付いたのは Milnor [Mil58] なのだろうか。

• dual Steenrod algeba
• \(p=2\) のとき algebra として \[ \cA _{2}^{*} \cong \F _{2}[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ] \]
• \(p\) が奇素数のとき algebra として \[ \cA _{p}^{*} \cong \Lambda (\tau _{0},\tau _{1},\ldots ) \otimes \F _{p}[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ] \]

Milnor は, dual Steenrod algebra の coproduct の構造も決定している。

部分代数としては, まず \(\cA (n)\) がある。

• \(\cA (n)\)

Wood は, Steenrod algebra に関する問題を集めた [Woo98] の中で, \(\cA (n)^{*}\) を graph を使って調べることを提案している。 その graph としての性質が, Larson の [Lar] で調べられている。

May は, [May70] の中で, 多重ループ空間のホモロジー作用素と統一して扱う試みをしている。その中で, universal Steenrod algebra ともいうべき代数が定義されている。 Lomonaco ら [Lom90; CL04; BCL05; BCL10; BC17] により調べられている。

• universal Steenrod algebra

Equivariant ordinary cohomology に対する Steenrod algebra の類似も考えられている。例えば 群が位数 \(2\) の巡回群 \(C_{2}\) の場合は, Hu と Krizの [HK01] の §6 に書かれている。それによると, 最初に調べられたのは Greenlees の thesis らしいが。 奇素数 \(p\) に対する \(C_{p}\)-equivariant Steenrod algebra については, Sankar と Wilson の [SW] で調べられている。Dual Steenrod algebra であるが。Hu, Kriz, Somberg, Zou [Hu+] により, 奇素数の場合も完全に計算されたようである。

• \(C_{p}\)-equivariant Steenrod algebra

Ricka [Ric15] は Adams と Margolis の結果 [AM74] の類似を考えている。

Motivic homotopy theory の文脈でも考えられている。

• motivic Steenrod algebra

References

[AM74]

J. F. Adams and H. R. Margolis. “Sub-Hopf-algebras of the Steenrod algebra”. In: Proc. Cambridge Philos. Soc. 76 (1974), pp. 45–52. url: https://doi.org/10.1017/s0305004100048714.

[BC17]

Maurizio Brunetti and Adriana Ciampella. “Searching for Fractal Structures in the Universal Steenrod Algebra at Odd Primes”. In: Mediterr. J. Math. 14.5 (2017), 14:188. arXiv: 1704.03161. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00009-017-0986-7.

[BCL05]

Maurizio Brunetti, Adriana Ciampella, and Luciano A. Lomonaco. “The cohomology of the universal Steenrod algebra”. In: Manuscripta Math. 118.3 (2005), pp. 271–282. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00229-005-0569-y.

[BCL10]

Maurizio Brunetti, Adriana Ciampella, and Luciano A. Lomonaco. “Homology and cohomology operations in terms of differential operators”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 42.1 (2010), pp. 53–63. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdp097.

[CL04]

A. Ciampella and L. A. Lomonaco. “The universal Steenrod algebra at odd primes”. In: Comm. Algebra 32.7 (2004), pp. 2589–2607. url: http://dx.doi.org/10.1081/AGB-120037401.

[HK01]

Po Hu and Igor Kriz. “Real-oriented homotopy theory and an analogue of the Adams-Novikov spectral sequence”. In: Topology 40.2 (2001), pp. 317–399. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00065-8.

[Hu+]

Po Hu, Igor Kriz, Petr Somberg, and Foling Zou. The \(\mathbb {Z}/p\)-equivariant dual Steenrod algebra for an odd prime \(p\). arXiv: 2205.13427.

[Lar]

Donald M. Larson. Connectedness of graphs arising from the dual Steenrod algebra. arXiv: 2106.03729.

[Lom90]

Luciano Lomonaco. “Dickson invariants and the universal Steenrod algebra”. In: Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl. 24 (1990). Fourth Conference on Topology (Italian) (Sorrento, 1988), pp. 429–443.

[Mar83]

H. R. Margolis. Spectra and the Steenrod algebra. Vol. 29. North-Holland Mathematical Library. Modules over the Steenrod algebra and the stable homotopy category. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1983, pp. xix+489. isbn: 0-444-86516-0.

[May70]

J. Peter May. “A general algebraic approach to Steenrod operations”. In: The Steenrod Algebra and its Applications (Proc. Conf. to Celebrate N. E. Steenrod’s Sixtieth Birthday, Battelle Memorial Inst., Columbus, Ohio, 1970). Lecture Notes in Mathematics, Vol. 168. Berlin: Springer, 1970, pp. 153–231.

[Mil58]

John Milnor. “The Steenrod algebra and its dual”. In: Ann. of Math. (2) 67 (1958), pp. 150–171. url: https://doi.org/10.2307/1969932.

[MT68]

Robert E. Mosher and Martin C. Tangora. Cohomology operations and applications in homotopy theory. New York: Harper & Row Publishers, 1968, pp. x+214.

[Ric15]

Nicolas Ricka. “Subalgebras of the \(\Z /2\)-equivariant Steenrod algebra”. In: Homology Homotopy Appl. 17.1 (2015), pp. 281–305. arXiv: 1404. 6886. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2015.v17.n1.a14.

[Smi07]

Larry Smith. “An algebraic introduction to the Steenrod algebra”. In: Proceedings of the School and Conference in Algebraic Topology. Vol. 11. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2007, pp. 327–348. arXiv: 0903.4997.

[Ste62]

N. E. Steenrod. Cohomology operations. Lectures by N. E. Steenrod written and revised by D. B. A. Epstein. Annals of Mathematics Studies, No. 50. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1962, pp. vii+139.

[SW]

Krishanu Sankar and Dylan Wilson. On the \(C_p\)-equivariant dual Steenrod algebra. arXiv: 2103.16006.

[Woo98]

R. M. W. Wood. “Problems in the Steenrod algebra”. In: Bull. London Math. Soc. 30.5 (1998), pp. 449–517. url: https://doi.org/10.1112/S002460939800486X.