Modules over the Steenrod Algebra

Steenrod algebra上の加群は, 様々に調べられてきた。 安定ホモトピー論の視点からのその集大成は, Margolis の本 [Mar83] だろう。

• Margolis homology

ここでは, 標数に関係なく Steenrod algebra を \(\mathcal {A}\) で表わすことにする。

\(\mathcal {A}\)-module から \(\mathcal {A}\) 上の \(\mathrm {Tor}\) を変えずに新しい \(\mathcal {A}\)-module を作る方法がある。Singer construction と呼ばれ, Segal 予想の証明で重要な役割を果した。 Lunøe-Nielsen と Rognes の [LR12] に簡単な歴史についてまとめられている。彼等は, その spectrum level での構成を得ている。

• Singer construction

\(\mathcal {A}\)-module が与えられたとき, それを spectrum の mod \(p\) cohomology として実現できるかというのは基本的な問題である。

Mitchell は [Mit85] で, \(\GL _n(\F _p)\) の Steinberg representation を用いて \(\mathcal {A}(n)\) を実現する spectrumを 構成した。 独立に Jeff Smith は, 対称群の表現を用いて, 同様の構成を行なった。二つの構成が同値なことは, Mitchell [Mit86] が証明した。なお Jeff Smith の構成は, Ravenel の本 [Rav92] の appendix で詳しく解説されている。

Unstable な場合は, unstable \(\mathcal {A}\)-algebra の実現問題になる。

• Steenrod algebra 上の unstable module と unstable algebra

\(\mathcal {A}\)-module は, quantum group の categorification にも現れるようである。 Beliakova と Cooper の [BC18] は, NilHecke algebra の上に \(\cA \)-module の構造を定義している。 Kitchloo [Kit] によっても, たぶん独立に, 定義されている。 また, Beliakova と Cooper は, Khovanov と Qi [KQ15] が導入した \(p\)-dg algebra による quantum group の categorification が \(\mathcal {A}\)-module による enrichment に拡張できることを示している。

関連した話題として, Khovanov homology への Steenrod algebra の作用も考えられ ている。Lipshitz と Sarkar が空間レベルでの Khovanov homology の構成を得ていて [LS14a], それを用いて [LS14b] で Steenrod operation を考えている。ただ, Khovanov と Rozansky の [KR16] によると, 作用の方向が Beliakova と Cooper のとは合わないようである。

References

[BC18]

Anna Beliakova and Benjamin Cooper. “Steenrod structures on categorified quantum groups”. In: Fund. Math. 241.2 (2018), pp. 179–207. arXiv: 1304.7152. url: https://doi.org/10.4064/fm307-3-2017.

[Kit]

N. Kitchloo. Cohomology operations and the nil-Hecke algebra. url: http://www.math.jhu.edu/~nitu/papers/NH.pdf.

[KQ15]

Mikhail Khovanov and You Qi. “An approach to categorification of some small quantum groups”. In: Quantum Topol. 6.2 (2015), pp. 185–311. arXiv: 1208.0616. url: https://doi.org/10.4171/QT/63.

[KR16]

Mikhail Khovanov and Lev Rozansky. “Positive half of the Witt algebra acts on triply graded link homology”. In: Quantum Topol. 7.4 (2016), pp. 737–795. arXiv: 1305 . 1642. url: https://doi.org/10.4171/QT/84.

[LR12]

Sverre Lunøe-Nielsen and John Rognes. “The topological Singer construction”. In: Doc. Math. 17 (2012), pp. 861–909. arXiv: 1010. 5633.

[LS14a]

Robert Lipshitz and Sucharit Sarkar. “A Khovanov stable homotopy type”. In: J. Amer. Math. Soc. 27.4 (2014), pp. 983–1042. arXiv: 1112.3932. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-2014-00785-2.

[LS14b]

Robert Lipshitz and Sucharit Sarkar. “A Steenrod square on Khovanov homology”. In: J. Topol. 7.3 (2014), pp. 817–848. arXiv: 1204.5776. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtu005.

[Mar83]

H. R. Margolis. Spectra and the Steenrod algebra. Vol. 29. North-Holland Mathematical Library. Modules over the Steenrod algebra and the stable homotopy category. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1983, pp. xix+489. isbn: 0-444-86516-0.

[Mit85]

Stephen A. Mitchell. “Finite complexes with \(A(n)\)-free cohomology”. In: Topology 24.2 (1985), pp. 227–246. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(85)90057-6.

[Mit86]

Stephen Mitchell. “On the Steinberg module, representations of the symmetric groups, and the Steenrod algebra”. In: J. Pure Appl. Algebra 39.3 (1986), pp. 275–281. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(86)90147-7.

[Rav92]

Douglas C. Ravenel. Nilpotence and periodicity in stable homotopy theory. Vol. 128. Annals of Mathematics Studies. Appendix C by Jeff Smith. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1992, pp. xiv+209. isbn: 0-691-02572-X.