Eilenberg-Mac Lane Spectra

Eilenberg-Mac Lane space \(K(G,n)\) は, その定義から \[ \Omega K(G,n) \relation {\simeq }{w} K(G,n-1) \] をみたし, \(\Omega \)- spectrum になる。

空間としては \(K(G,n)\) と書くが, それらを集めた spectrum としては \(HG\) と書くのが普通である。対応するコホモロジーが, Eilenberg-Steenrod のコホモロジー \(H^{*}(-;G)\) だからである。

もちろん, CW複体として構成すれば, ホモトピー同値にできるが, 単に (弱) ホモトピー同値がある, というだけでは, 計算に使いづらい。

具体的な spectrum としての構成としては, Milgram [Mil67] の bar construction によるものが良い, と思う。各 \(K(G,n)\) は 位相群として定義され, その 分類空間として次の空間が \[ K(G,n+1) = BK(G,n) \] と定義される。

Ravenel と Wilson [RW80] は, この構成に基いて Hopf ring の概念を導入し, バー型の Eilenberg-Moore スペクトル系列を用いて Eilenberg-Mac Lane 空間の Morava \(K\)理論を決定している。

• Hopf ring

他にも, Dold-Thom [DT58] による無限 対称積を用いた構成も functorial であるという点で, 良い。 また, equivariant cohomology に対する Eilenberg-Mac Lane spectrum は, dos Santos と Nie の [SN] で equivariant Dold-Thom theorem を用いて構成されている。

• equivariant Eilenberg-Mac Lane spectrum

\(C_{2}\)-equivariant Eilenberg-Mac Lane spectrum の \(\mathrm {RO}(C_{2})\)-graded homology は, Petersen の [Pet] で, Hopf ring のテクニックを用いて計算されている。

他の構成としては, Mahowald [Mah77] による Thom spectrum としての構成がある。mod \(2\) Eilenberg-Mac Lane spectrum \(H\Z /2\Z \) についてであるが。 奇素数 \(p\) に対する類似は, Hahn と Wilson [HW20] によると Hopkins によるらしい。 そこでは, Mathew, Naumann, Noel の [MNN15] の Theorem 4.18 が参照されているが, 証明が書かれているからだろう。Mathew らの論文にも書かれているように, Antolín-Camarena と Barthel の [AB19] にも Theorem 5.1 として同様の証明が書かれている。

• Mahowald-Hopkins theorem

その一般としては, まず equivariant 版がある。 Behrens と Dylan Wilson [BW18] は \(C_{2}\)-equivariant 版を証明している。更に, 一般の素数 \(p\) に対し \(C_p\)-equivariant 版を Hahn と Wilson [HW20] が証明している。 それらを統一するものとして Levy の [Lev22] がある。

また, 環を \(\F _{p}\) からより一般の環に一般化できないか, というのは自然な疑問であるが, それについては Mao [Mao23] が perfectoid ring への一般化を示している。

References

[AB19]

Omar Antolín-Camarena and Tobias Barthel. “A simple universal property of Thom ring spectra”. In: J. Topol. 12.1 (2019), pp. 56–78. arXiv: 1411.7988. url: https://doi.org/10.1112/topo.12084.

[BW18]

Mark Behrens and Dylan Wilson. “A \(C_2\)-equivariant analog of Mahowald’s Thom spectrum theorem”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 146.11 (2018), pp. 5003–5012. arXiv: 1707.02582. url: https://doi.org/10.1090/proc/14175.

[DT58]

Albrecht Dold and René Thom. “Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte”. In: Ann. of Math. (2) 67 (1958), pp. 239–281. url: https://doi.org/10.2307/1970005.

[HW20]

Jeremy Hahn and Dylan Wilson. “Eilenberg–Mac Lane spectra as equivariant Thom spectra”. In: Geom. Topol. 24.6 (2020), pp. 2709–2748. arXiv: 1804.05292. url: https://doi.org/10.2140/gt.2020.24.2709.

[Lev22]

Ishan Levy. “Eilenberg Mac Lane spectra as \(p\)-cyclonic Thom spectra”. In: J. Topol. 15.2 (2022), pp. 878–895. arXiv: 2103.04457. url: https://doi.org/10.1112/topo.12230.

[Mah77]

Mark Mahowald. “A new infinite family in \({}_{2}\pi _{*}{}^s\)”. In: Topology 16.3 (1977), pp. 249–256. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(77)90005-2.

[Mao23]

Zhouhang Mao. “Perfectoid rings as Thom spectra”. In: Selecta Math. (N.S.) 29.3 (2023), Paper No. 48, 27. arXiv: 2003.08697. url: https://doi.org/10.1007/s00029-023-00851-0.

[Mil67]

R. James Milgram. “The bar construction and abelian \(H\)-spaces”. In: Illinois J. Math. 11 (1967), pp. 242–250. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256054662.

[MNN15]

Akhil Mathew, Niko Naumann, and Justin Noel. “On a nilpotence conjecture of J. P. May”. In: J. Topol. 8.4 (2015), pp. 917–932. arXiv: 1403.2023. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv021.

[Pet]

Sarah Petersen. The \(H \underline {\mathbb {F}}_2\)-homology of \(C_2\)-equivariant Eilenberg-MacLane spaces. arXiv: 2206.08165.

[RW80]

Douglas C. Ravenel and W. Stephen Wilson. “The Morava \(K\)-theories of Eilenberg-Mac Lane spaces and the Conner-Floyd conjecture”. In: Amer. J. Math. 102.4 (1980), pp. 691–748. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374093.

[SN]

Pedro F. dos Santos and Zhaohu Nie. A model for equivariant Eilenberg-Mac Lane spectra. arXiv: 0804.0264.