位相や距離の概念の拡張

位相空間の概念の拡張としては, まず Grothendieck topology そして topos がある。

• Grothendieck topology
• topos

より位相空間に近いものとして, Garner [Gar12] の ionad がある。

• ionad

Delf と Knebusch の [DK85] で使われている “generalized topological space” も Grothendieck topology の特別な場合である。 開集合に対応する部分集合族で定義されるが, 和集合に関しては有限個の和集合で閉じていることしか仮定されない。その代わり, covering の familiy が指定されている。Delf と Knebusch は, その generalized topological space 上の ringed space を用いて semialgebraic space, そして locally semialgebraic space という概念を導入している。

• semialgebraic space と locally semialgebraic space

幾何学的要請から登場したものとしては, coarse structure や bornological space がある。Chen や Souriau の考えた, diffeology というものもある。

• coarse structure
• bornology
• diffeology

Bubenik と Milićević [BM] は, 応用トポロジーのために, 位相空間と graph と quiver を含む枠組みとして closure space を使うことを提案している。 Demaria らの [DG84] のように pretopological space と呼ばれることもあるようである。

• closure space

Proper homotopy theory のための exteriology というものを持つ exterior space というものもある。Garcia-Calcines と Garcia-Pinillos と Hernandez-Paricio の [GGH98; GGH04] では, その圏の上の model structure が構成されている。また, [GHR13] では, 力学系への応用が考えられている。

• exterior space

Category theory の視点からは, 位相空間の category は cartesian closed でないなどの不具合があるので, 位相空間の category を含むような良い category を構成しようという試みがある。 Garner の [Gar14] の Introduction には, 次のようなものが挙げられている。

• epitopological space
• pseudotopological space
• quasitopological space
• approach space
• convergence space
• uniformity space
• proximity space あるいは nearness space
• filter space
• Kelley space

この中で, epitopological space と pseudotpological space については, Dossena [Dosa] により, topological fundamental group を拡張するために用いられている。

文献としては, pseudotopological space については, Choquetの [Cho48], Bentley, Herrlich, Lowen の [BHL91], Herrlich, Lowen-Colebunders, Schwarz [HLS91] Wyler の [Wyl91] が, epitopological space については, Antoine の [Ant66], Bourdaud の [Bou75] Machado の[Mac73] が挙げられている。

Approach space は Lowen [Low89] により導入されたものである。 Li と Zhang の [LZ18]では, Lowen の本 [Low15] も参照されている。

Proximity space や nearness space と呼ばれているものは, Wikipedia によると, Riesz により1909年に導入された後, 何人かの人により再発見されている。文献としては, Wallace の [Wal41] 挙げるべきなのだろうか。ただし, そこでは separation space と呼ばれているので, 誰が proximity space や nearness space と名付けたかは不明である。その連結性として equiconnected という概念が Mrówka と Pervin の [MP64] で導入されているが, そこでは proximity space と呼ばれている。

Dossena は [Dosb]で neighborhood space というものについて調べている。Kent と Min の [KM02] を参照している。

• neighborhood space

より初等的なアイデアとしては, 集合 \(X\) の巾集合 \(2^X\) を写像 \(X\to \{0,1\}\) の集合とみなし, \(\{0,1\}\) をより大きな集合 \(L\) に取り替えるというものもある。Noor と Singh の [NS] では \(L\)-topology と呼ばれている。

• \(L\)-topology

他に, locale も位相の一般化と言ってよいだろう。 位相空間の開集合族の成す lattice が locale の典型的な例だからである。

• locale と関連した概念

代数幾何学的には, 位相空間の上に sheaf of commutative rings が乗った ringed space を考えるのが普通である。 その一般化として, Durov の vectoid [Dur] などがある。

• ringed space
• vectoid

Pramanik と Basu と Deb Ray [PBR] によると, Morgan は category base の理論を一連の論文 [Mor74; Mor77a; Mor77b; Mor82] の中で構築したらしい。Lebesgue measurable set や Marczewski set [Sch89] を含むもののようである。Pramanik らは, category base がどのような場合に位相になるかを考えている。

• category base

References

[Ant66]

J.-P. Antoine. “Étude de la dégénérescence orbitale du potentiel coulombien en théorie des groupes. I”. In: Ann. Soc. Sci. Bruxelles Sér, I 80 (1966), pp. 169–184.

[BHL91]

H. L. Bentley, H. Herrlich, and R. Lowen. “Improving constructions in topology”. In: Category theory at work (Bremen, 1990). Vol. 18. Res. Exp. Math. Heldermann, Berlin, 1991, pp. 3–20.

[BM]

Peter Bubenik and Nikola Milićević. Homotopy, homology, and persistent homology using closure spaces and filtered closure spaces. arXiv: 2104.10206.

[Bou75]

Gérard Bourdaud. “Espaces d’Antoine et semi-espaces d’Antoine”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 16.2 (1975), pp. 107–133.

[Cho48]

G. Choquet. “Convergences”. In: Ann. Univ. Grenoble. Sect. Sci. Math. Phys. (N.S.) 23 (1948), pp. 57–112.

[DG84]

Davide Carlo Demaria and Rosanna Garbaccio Bogin. “Homotopy and homology in pretopological spaces”. In: Proceedings of the 11th winter school on abstract analysis (Železná Ruda, 1983). Suppl. 3. 1984, pp. 119–126.

[DK85]

Hans Delfs and Manfred Knebusch. Locally semialgebraic spaces. Vol. 1173. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1985, pp. xvi+329. isbn: 3-540-16060-4. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0074551.

[Dosa]

Giacomo Dossena. Epitopological and pseudotopological fundamental group functors. arXiv: 1707.05601.

[Dosb]

Giacomo Dossena. Nbd is not cartesian closed. arXiv: 1707.06137.

[Dur]

Nikolai Durov. Classifying Vectoids and Generalisations of Operads. arXiv: 1105.3114.

[Gar12]

Richard Garner. “Ionads”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.8-9 (2012), pp. 1734–1747. arXiv: 0912 . 1415. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.02.013.

[Gar14]

Richard Garner. “Topological functors as total categories”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), No. 15, 406–422.

[GGH04]

J. M. Garcia-Calcines, M. Garcia-Pinillos, and L. J. Hernandez-Paricio. “Closed simplicial model structures for exterior and proper homotopy theory”. In: Appl. Categ. Structures 12.3 (2004), pp. 225–243. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:APCS.0000031087.83413.a4.

[GGH98]

J. M. García-Calcines, M. García-Pinillos, and L. J. Hernández-Paricio. “A closed simplicial model category for proper homotopy and shape theories”. In: Bull. Austral. Math. Soc. 57.2 (1998), pp. 221–242. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0004972700031610.

[GHR13]

J. M. García Calcines, L. J. Hernández Paricio, and M. T. Rivas Rodríguez. “Limit and end functors of dynamical systems via exterior spaces”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 20.5 (2013), pp. 937–959. arXiv: 1202 . 1635. url: http://projecteuclid.org/euclid.bbms/1385390773.

[HLS91]

H. Herrlich, E. Lowen-Colebunders, and F. Schwarz. “Improving Top: PrTop and PsTop”. In: Category theory at work (Bremen, 1990). Vol. 18. Res. Exp. Math. Heldermann, Berlin, 1991, pp. 21–34.

[KM02]

D. C. Kent and Won Keun Min. “Neighborhood spaces”. In: Int. J. Math. Math. Sci. 32.7 (2002), pp. 387–399. url: https://doi.org/10.1155/S0161171202202203.

[Low15]

R. Lowen. Index analysis. Springer Monographs in Mathematics. Approach theory at work. Springer, London, 2015, pp. xxii+466. isbn: 978-1-4471-6484-5; 978-1-4471-6485-2. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4471-6485-2.

[Low89]

R. Lowen. “Approach spaces: a common supercategory of TOP and MET”. In: Math. Nachr. 141 (1989), pp. 183–226. url: https://doi.org/10.1002/mana.19891410120.

[LZ18]

Wei Li and Dexue Zhang. “Scott approach distance on metric spaces”. In: Appl. Categ. Structures 26.5 (2018), pp. 1067–1093. arXiv: 1610.06341. url: https://doi.org/10.1007/s10485-018-9527-1.

[Mac73]

Armando Machado. “Espaces d’Antoine et pseudo-topologies”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 14 (1973), pp. 309–327.

[Mor74]

John C. Morgan II. “Infinite games and singular sets”. In: Colloq. Math. 29 (1974), pp. 7–17, 159. url: https://doi.org/10.4064/cm-29-1-7-17.

[Mor77a]

John C. Morgan II. “Baire category from an abstract viewpoint”. In: Fund. Math. 94.1 (1977), pp. 13–23. url: https://doi.org/10.4064/fm-94-1-59-64.

[Mor77b]

John C. Morgan II. “On zero-one laws”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 62.2 (1977), pp. 353–358. url: https://doi.org/10.2307/2041043.

[Mor82]

John C. Morgan II. “On product bases”. In: Pacific J. Math. 99.1 (1982), pp. 105–126. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102734137.

[MP64]

S. G. Mrówka and W. J. Pervin. “On uniform connectedness”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1964), pp. 446–449. url: https://doi.org/10.2307/2034521.

[NS]

Rana Noor and Sheo Kumar Singh. Another Sierpinski object in BFTS. arXiv: 1305.4034.

[PBR]

Abhit Chandra Pramani, Sanjib Basu, and Atashi Deb Ray. Category bases that are equivalent to topologies. arXiv: 2110.00930.

[Sch89]

Kenneth Schilling. “Some category bases which are equivalent to topologies”. In: Real Anal. Exchange 14.1 (1988/89), pp. 210–214.

[Wal41]

A. D. Wallace. “Separation spaces”. In: Ann. of Math. (2) 42 (1941), pp. 687–697. url: https://doi.org/10.2307/1969257.

[Wyl91]

Oswald Wyler. Lecture notes on topoi and quasitopoi. World Scientific Publishing Co., Inc., Teaneck, NJ, 1991, pp. xii+290. isbn: 981-02-0153-2. url: https://doi.org/10.1142/9789814368247.