コホモロジー作用素だけで分からない情報も, 高次コホモロジー作用素を用いると調べることができる場合がある。
まず最も簡単な高次作用素として, 高次の Bockstein 作用素がある。
これは, Bockstein spectral sequence の微分とみなすことができる。
Steenrod 作用素から定義される高次コホモロジー作用素については, Harper の本 [Har02] がある。
別の系統の高次作用素として代表的なのは, Massey product である。
Toda bracket や Massey product を含めた高次作用素を統一的に扱おうという試みもある。例えば Blanc と
Markl の [BM03], Baues と Muro の [BM11], Blanc と Johnson と Turner の [BJT10]
などである。
Baues は [Bau06] で, secondary Steenrod algebra なるものを定義している。Nassau の [Nas]
をまず見てみるとよいだろう。Baues のものを単純にした構成を見つけたようである。 Algebra ではなく, Steenrod algebra
を最初と最後に持つ4項の完全列である。 もちろん, “algebra” というからには, 積を持ってはいるが。Baues はこのようなものを pair
algebra と呼んでいる。
- secondary Steenrod algebra
どうやら, これを用いると Adams spectral sequence の \(d_2\) が決定できるようである。Baues と Jibladze の
[BJ11] など。
References
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[Bau06]
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Hans-Joachim Baues.
The algebra of secondary cohomology operations. Vol. 247. Progress
in Mathematics. Basel: Birkhäuser Verlag, 2006, pp. xxxii+483. isbn:
3-7643-7448-9; 978-3-7643-7448-8.
-
[BJ11]
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Hans-Joachim Baues and Mamuka Jibladze. “Dualization of the Hopf
algebra of secondary cohomology operations and the Adams spectral
sequence”. In: J. K-Theory 7.2 (2011), pp. 203–347. arXiv: 0809.2627.
url: http://dx.doi.org/10.1017/is010010029jkt133.
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[BJT10]
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David Blanc, Mark
W. Johnson, and James M. Turner. “Higher homotopy operations
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0906.0012. url: http://dx.doi.org/10.1017/is010001011jkt099.
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[BM03]
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David Blanc and Martin Markl. “Higher homotopy operations”.
In: Math. Z. 245.1 (2003), pp. 1–29. arXiv: math/0207082. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s00209-003-0494-2.
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[BM11]
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Hans-Joachim Baues and Fernando Muro. “The algebra of secondary
homotopy operations in ring spectra”. In: Proc. Lond. Math.
Soc. (3) 102.4 (2011), pp. 637–696. arXiv: math/0610523. url:
http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdq034.
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[Har02]
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John R. Harper. Secondary cohomology operations. Vol. 49. Graduate
Studies in Mathematics. Providence, RI: American Mathematical
Society, 2002, p. xii 268. isbn: 0-8218-3198-4.
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[Nas]
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Christian Nassau. On the secondary Steenrod algebra. arXiv:
1011.2471.
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