Weissのorthogonal calculus

Goodwillie calculus では, 定義域を基点付き位相空間の圏 (やそれに類する圏) に持つ homotopy functor を考えたが, Weiss は, 定義域をより小さな 位相圏に持つ functor に対し Goodwillie のアイデアを応用することを考えた。

その1つが, orthogonal calculus [Wei95; Wei98] である。 つまり内積を持つ有限次元実ベクトル空間の圏から, 位相空間の圏への continuous functor \[ F : \category {Vect} \longrightarrow \category {Top} \] に対する calculus である。

Model category を用いた fomrulation として Barnes と Oman の [BO13] がある。彼等の目的は, equivariant orthogonal calculus を開発することのようである。

Unitary 版は, Tynan の thesis [Tyn16] に登場する。そこでは, \(\Z /2\Z \)-equivariant 版も考えられている。 より詳しくは, model category を用いて, Taggart により一連の論文 [Tag22a; Tag21; Tag22b; Tag23] で調べられている。

• unitary calculus

位相空間の圏から位相空間の圏への homotopy functor \(F\) が与えられたとき, ベクトル空間 \(V\) に対しその1点コンパクト化での値 \(F(S^{V})\) を対応させることで, \(\category {Vect}\) から位相空間の圏への homotopy functor ができる。 よって, その orthogonal calculus が考えられる。これと元の \(F\) の Taylor tower との比較を Barnes と Eldred [BE16] が行なっている。

Orthogonal calculus の応用として, Stiefel manifold の ループ空間の Mitchell-Richter filtration が stable に split することが, Arone により示されている。 同様の方法により, H. Miller による Stiefel manifold の stable splitting[Mil85] の別証も得られる。 Tynan の thesis [Tyn16] では \(\Z /2\Z \)-equivariant 版が得られている。

Barnes と Oman の [BO13] では, 応用として Arone と Lambrechts と Volic の [ALV07] が挙げられている。

他には, 位相多様体に対して定義される block structure space という空間も調べることができる [Mac07], らしい。Klein と Richter の Poincaré duality space に関する [KR11] でも使われている。Arone は、 embedding の成す空間から immersion の成す空間への包含写像のホモトピーファイバーを stabilize した functor を, [Aro09] で orthogonal calculus を用いて調べている。

Reis と Weiss [RW16] は, 平面への写像の特異点を調べるのに用いている。

References

[ALV07]

Gregory Arone, Pascal Lambrechts, and Ismar Volić. “Calculus of functors, operad formality, and rational homology of embedding spaces”. In: Acta Math. 199.2 (2007), pp. 153–198. arXiv: math/0607486. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11511-007-0019-7.

[Aro09]

Gregory Arone. “Derivatives of embedding functors. I. The stable case”. In: J. Topol. 2.3 (2009), pp. 461–516. arXiv: 0707.3489. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtp019.

[BE16]

David Barnes and Rosona Eldred. “Comparing the orthogonal and homotopy functor calculi”. In: J. Pure Appl. Algebra 220.11 (2016), pp. 3650–3675. arXiv: 1505.05458. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2016.05.005.

[BO13]

David Barnes and Peter Oman. “Model categories for orthogonal calculus”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.2 (2013), pp. 959–999. arXiv: 1101.4099. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2013.13.959.

[KR11]

John R. Klein and William Richter. “Poincaré duality and periodicity”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.4 (2011), pp. 1961–1985. arXiv: 0707.1353. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2011.11.1961.

[Mac07]

Tibor Macko. “The block structure spaces of real projective spaces and orthogonal calculus of functors”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 359.1 (2007), 349–383 (electronic). arXiv: math/0404198. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-06-04180-8.

[Mil85]

Haynes Miller. “Stable splittings of Stiefel manifolds”. In: Topology 24.4 (1985), pp. 411–419. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(85)90012-6.

[RW16]

Rui Reis and Michael Weiss. “Rational Pontryagin classes and functor calculus”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 18.8 (2016), pp. 1769–1811. arXiv: 1102.0233. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/629.

[Tag21]

Niall Taggart. “Comparing the orthogonal and unitary functor calculi”. In: Homology Homotopy Appl. 23.2 (2021), pp. 227–256. arXiv: 2001.04485. url: https://doi.org/10.4310/hha.2021.v23.n2.a13.

[Tag22a]

Niall Taggart. “Unitary calculus: model categories and convergence”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 17.3 (2022), pp. 419–462. arXiv: 1911.08575. url: https://doi.org/10.1007/s40062-022-00311-0.

[Tag22b]

Niall Taggart. “Unitary functor calculus with reality”. In: Glasg. Math. J. 64.1 (2022), pp. 197–230. arXiv: 2004.14886. url: https://doi.org/10.1017/S0017089521000033.

[Tag23]

Niall Taggart. “Recovering unitary calculus from calculus with reality”. In: J. Pure Appl. Algebra 227.12 (2023), Paper No. 107416, 42. arXiv: 2010.05948. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2023.107416.

[Tyn16]

Philip Douglas Tynan. Equivariant Weiss Calculus and Loop Spaces of Stiefel Manifolds. Thesis (Ph.D.)–Harvard University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2016, p. 58. isbn: 978-0355-02970-3. arXiv: 1702.02928.

[Wei95]

Michael Weiss. “Orthogonal calculus”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 347.10 (1995), pp. 3743–3796. url: http://dx.doi.org/10.2307/2155204.

[Wei98]

Michael S. Weiss. “Erratum: “Orthogonal calculus” [Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995), no. 10, 3743–3796; MR1321590 (96m:55018)]”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 350.2 (1998), pp. 851–855. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-98-02130-8.