Weissのorthogonal calculus

Goodwillie calculus では, 定義域を基点付き位相空間の圏 (やそれに類する圏) に持つ homotopy functor を考えたが, Weiss は, 定義域をより小さな位相圏に持つ functor に対し Goodwillie のアイデアを応用することを考えた。

その1つが, orthogonal calculus [Wei95; Wei98] である。 つまり内積を持つ有限次元ベクトル空間の圏から, 位相空間の圏への continuous functor \[ F : \category{Vect} \longrightarrow \category{Top} \] に対する calculus である。

Model category を用いた fomrulation として Barnes と Oman の [BO13] がある。彼等の目的は, equivariant orthogonal calculus を開発することのようである。

Unitary版としては, Tynan の thesis [Tyn] がある。そこでは, \(\Z /2\Z \)-equivariant 版も考えられている。

• unitary calculus

位相空間の圏から位相空間の圏への homotopy functor \(F\) が与えられたとき, ベクトル空間 \(V\) に対しその1点コンパクト化での値 \(F(S^{V})\) を対応させることで, \(\category{Vect}\) から位相空間の圏への homotopy functor ができる。 よって, その orhogonal calculus が考えられる。これと元の \(F\) の Taylor tower との比較を Barnes と Eldred [BE] が行なっている。

Orthogonal calculus の応用として, Stiefel manifold のループ空間の Mitchell-Richter filtration が stable に split することが, Arone により示されている。 同様の方法により, H. Miller による Stiefel manifold の stable splitting[Mil85] の別証も得られる。 Tynan の thesis [Tyn] では \(\Z /2\Z \)-equivariant 版が得られている。

Barnes と Oman の [BO13] では, 応用として Arone と Lambrechts と Volic の [ALV07] が挙げられている。

他には, 位相多様体に対して定義される block structure space という空間も調べることができる [Mac07], らしい。Klein と Richter の Poincaré duality space に関する [KR11] でも使われている。Arone は、 embedding の成す空間から immersion の成す空間への包含写像のホモトピーファイバーを stabilize した functor を, [Aro09] で orthogonal calculus を用いて調べている。

Reis と Weiss [RW] は, 平面への写像の特異点を調べるのに用いている。

References

[ALV07]

Gregory Arone, Pascal Lambrechts, and Ismar Volić. “Calculus of functors, operad formality, and rational homology of embedding spaces”. In: Acta Math. 199.2 (2007), pp. 153–198. arXiv: math/0607486. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11511-007-0019-7.

[Aro09]

Gregory Arone. “Derivatives of embedding functors. I. The stable case”. In: J. Topol. 2.3 (2009), pp. 461–516. arXiv: 0707.3489. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtp019.

[BE]

David Barnes and Rosona Eldred. Comparing the orthogonal and homotopy functor calculi. arXiv: 1505.05458.

[BO13]

David Barnes and Peter Oman. “Model categories for orthogonal calculus”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.2 (2013), pp. 959–999. arXiv: 1101.4099. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2013.13.959.

[KR11]

John R. Klein and William Richter. “Poincaré duality and periodicity”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.4 (2011), pp. 1961–1985. arXiv: 0707.1353. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2011.11.1961.

[Mac07]

Tibor Macko. “The block structure spaces of real projective spaces and orthogonal calculus of functors”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 359.1 (2007), 349–383 (electronic). arXiv: math/0404198. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-06-04180-8.

[Mil85]

Haynes Miller. “Stable splittings of Stiefel manifolds”. In: Topology 24.4 (1985), pp. 411–419. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(85)90012-6.

[RW]

Rui M. G. Reis and Michael S. Weiss. Rational Pontryagin classes and functor calculus. arXiv: 1102.0233.

[Tyn]

Philip D. Tynan. Equivariant Weiss Calculus and Loop Spaces of Stiefel Manifolds. arXiv: 1702.02928.

[Wei95]

Michael Weiss. “Orthogonal calculus”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 347.10 (1995), pp. 3743–3796. url: http://dx.doi.org/10.2307/2155204.

[Wei98]

Michael S. Weiss. “Erratum: “Orthogonal calculus” [Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995), no. 10, 3743–3796; MR1321590 (96m:55018)]”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 350.2 (1998), pp. 851–855. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-98-02130-8.