古典的な homotopy limit や colimit

Bousfield と Kan [BK72] により, 一般的な空間の図式の homotopy limit や colimit の理論が構築される以前にも, 簡単な図式については, ad hoc に homotopy limit や colimit が定義され, 使われてきた。

• telescope
• mapping cone (homotopy cofiber)
• homotopy fiber
• double mapping cylinder (homotopy pushout)
• double mapping track (homotopy pullback)
• Borel construction ([Bor53])

通常の pullback や pushout では都合が悪いことは, 適当な例を考えてみればわかる。例えば [DH01] の中の Dwyer の解説などに簡単な例がある。

これらの古典的な homotopy (co)limit については, まず May と Ponto の本 [MP12] の Chapter 2 を見るとよいと思う。 そこに書かれている重要な性質の内, “gluing lemma” を理解すると, homotopy colimit についての理解が深まると思う。

• 位相空間の可換図式 \[ \xymatrix { X \ar [d] & A \ar [d] \ar [l]_{f} \ar [r]^{g} & Y \ar [d] \\ X' & A' \ar [l]^{f'} \ar [r]_{g'} & Y' } \] で, 縦の写像が全てホモトピー同値ならば, homotopy pushout (double mapping cylinder) の間のホモトピー同値写像 \[ Z_{f,g} \rarrow {\simeq } Z_{f',g'} \] が誘導される。
• \(f: A\to X\) が cofibration ならば, pushout への自然な射影 \[ Z_{f,g} \longrightarrow X\cup _{A} Y \] はホモトピー同値である。
• よって上の可換図式で, \(f\) と \(f'\) が共に cofibration で, 縦が全てホモトピー同値ならば, pushout の間の写像 \[ X \cup _{A} Y \longrightarrow X'\cup _{A'} Y' \] はホモトピー同値である。

Homotopy pullback と homotopy pushout については, 他に [Vog73; Vog77; MW80; Mat76; Wal77; Wal79] などの文献がある。例えば, [MW80] では homotopy pullback と homotopy pushout が可換になる条件が考えられている。

Homotopy pullback は写像 \[ X \rarrow {f} Z \larrow {g} Y \] に対し \(X\times \mathrm {Map}(I,Z)\times Y\) の部分空間として具体的に定義されるが, 具体的な構成ではなく, 性質で特徴付けることもできる。例えば Chacholski と Pitsch と Scherer の [CPS] など。

References

[BK72]

A. K. Bousfield and D. M. Kan. Homotopy limits, completions and localizations. Vol. 304. Lecture Notes in Mathematics. 2nd corrected printing 1987. Berlin: Springer-Verlag, 1972, p. v 348.

[Bor53]

Armand Borel. “Sur la cohomologie des espaces fibrés principaux et des espaces homogènes de groupes de Lie compacts”. In: Ann. of Math. (2) 57 (1953), pp. 115–207. url: http://dx.doi.org/10.2307/1969728.

[CPS]

W. Chacholski, W. Pitsch, and J. Scherer. Homotopy pull-back squares up to localization. arXiv: math/0501250.

[DH01]

William G. Dwyer and Hans-Werner Henn. Homotopy theoretic methods in group cohomology. Advanced Courses in Mathematics—CRM Barcelona. Basel: Birkhäuser Verlag, 2001, p. x 98. isbn: 3-7643-6605-2.

[Mat76]

Michael Mather. “Pull-backs in homotopy theory”. In: Canadian J. Math. 28.2 (1976), pp. 225–263. url: https://doi.org/10.4153/CJM-1976-029-0.

[MP12]

J. P. May and K. Ponto. More concise algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics. Localization, completion, and model categories. Chicago, IL: University of Chicago Press, 2012, pp. xxviii+514. isbn: 978-0-226-51178-8; 0-226-51178-2.

[MW80]

Michael Mather and Marshall Walker. “Commuting homotopy limits and colimits”. In: Math. Z. 175.1 (1980), pp. 77–80. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01161383.

[Vog73]

Rainer M. Vogt. “Homotopy limits and colimits”. In: Math. Z. 134 (1973), pp. 11–52. url: https://doi.org/10.1007/BF01219090.

[Vog77]

Rainer M. Vogt. “Commuting homotopy limits”. In: Math. Z. 153.1 (1977), pp. 59–82.

[Wal77]

Marshall Walker. “Homotopy pull-backs and applications to duality”. In: Canad. J. Math. 29.1 (1977), pp. 45–64.

[Wal79]

Marshall Walker. “Homotopy pullbacks and the Hopf invariant”. In: J. London Math. Soc. (2) 19.1 (1979), pp. 153–158. url: http://dx.doi.org/10.1112/jlms/s2-19.1.153.