グラフの C∗環

グラフから \(C^*\)-algebra を構成することは, 誰が最初に考えたのだろうか。Kumjian と Pask と Raeburn と Renault の [Kum+97] では, グラフから groupoid を作り, その \(C^*\)-algebra として構成されている。

• groupoid \(C^{*}\)-algebra

Cuntz と Krieger は, [CK80] で \(0\) と \(1\) に値を持つ正方行列を用いて定義された関係式をみたす Hilbert空間の partial isometry を考えている。 そのような partial isometry で生成された \(C^*\)-algebra を Cuntz-Krieger algebra と呼ぶらしい。

• Cuntz-Krieger algebra

\(0\) と \(1\) に値を持つ行列の代表はグラフから定義されるものだから, Cuntz と Krieger の \(C^*\)-algebra が, グラフの \(C^*\)-algebra の最初例ということになるのだろうか。Cornelissen と Lorscheid と Marcolli の [CLM] によると, その行列を定義するときの作用素は, グラフの zeta関数の定義と関係しているらしい。この Cornelissen らの論文では, このようにしてグラフからできる Cuntz-Krieger algebra の \(K\)-theory が決定されている。 Cuntz-Kreiger algebra の \(K\)-theory については, Iyudu [Iyu] も調べている。

また Ivanov の [Iva] によると, right-angled Artin group の Toeplitz \(C^*\)-algebra というものもある。他にも Farah [Far10] の考えている構成など, グラフから \(C^*\)-algebra を構成する方法は色々あるようである。

グラフの \(C^*\)-algebra については, 他に Pask らによって色々調べられている。 [PR06] では, グラフの \(C^*\)-algebra に対し spectral triple が定義されている。 Spectral triple は, 非可換幾何学で Riemann 計量を持つ \(\mathrm{Spin}_c\) 多様体に対応するものだから, これで「グラフの非可換幾何学」 を考えることができる。彼らは「グラフの \(C^*\)-algebra の非可換幾何学」と言っているが。

Pask らは, グラフの一般化である \(k\)-graph というものを考え, それについても同様のことができる [PRS08; PRS09] と言っている。 正確には, グラフではなく small category, それも rank の付いた small category の一般化であるが。

• \(k\)-graph

グラフの \(C^*\)-algebra の一般化として, topological graph に対して \(C^*\)-algebra を構成し, その性質を調べているのは, Katsura の [Kat04; Kat06a; Kat06b] である。 Topological graph という概念もそこで定義されたもののようである。

• topological graph

References

[CK80]

Joachim Cuntz and Wolfgang Krieger. “A class of \(C^{\ast } \)-algebras and topological Markov chains”. In: Invent. Math. 56.3 (1980), pp. 251–268. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01390048.

[CLM]

Gunther Cornelissen, Oliver Lorscheid, and Matilde Marcolli. On the \(K\)-theory of graph \(C^*\)-algebras. arXiv: math/0606582.

[Far10]

Ilijas Farah. “Graphs and CCR algebras”. In: Indiana Univ. Math. J. 59.3 (2010), pp. 1041–1056. arXiv: 0908.3927. url: https://doi.org/10.1512/iumj.2010.59.4144.

[Iva]

Nikolay A. Ivanov. The \(K\)-Theory of Toeplitz \(C^*\)-Algebras of Right-Angled Artin Groups. arXiv: 0708.2944.

[Iyu]

Natalia Iyudu. \(K\)-theory of locally finite graph \(C^*\)-algebras. arXiv: 1007.3952.

[Kat04]

Takeshi Katsura. “A class of \(C^*\)-algebras generalizing both graph algebras and homeomorphism \(C^*\)-algebras. I. Fundamental results”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 356.11 (2004), 4287–4322 (electronic). arXiv: math/0207252. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03636-0.

[Kat06a]

Takeshi Katsura. “A class of \(C^*\)-algebras generalizing both graph algebras and homeomorphism \(C^*\)-algebras. II. Examples”. In: Internat. J. Math. 17.7 (2006), pp. 791–833. arXiv: math/0405268. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X06003722.

[Kat06b]

Takeshi Katsura. “A class of \(C^*\)-algebras generalizing both graph algebras and homeomorphism \(C^*\)-algebras. III. Ideal structures”. In: Ergodic Theory Dynam. Systems 26.6 (2006), pp. 1805–1854. arXiv: math/0408190. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0143385706000320.

[Kum+97]

Alex Kumjian, David Pask, Iain Raeburn, and Jean Renault. “Graphs, groupoids, and Cuntz-Krieger algebras”. In: J. Funct. Anal. 144.2 (1997), pp. 505–541. url: http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1996.3001.

[PR06]

David Pask and Adam Rennie. “The noncommutative geometry of graph \(C^*\)-algebras. I. The index theorem”. In: J. Funct. Anal. 233.1 (2006), pp. 92–134. arXiv: math/0508025. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2005.07.009.

[PRS08]

David Pask, Adam Rennie, and Aidan Sims. “The noncommutative geometry of \(k\)-graph \(C^*\)-algebras”. In: J. K-Theory 1.2 (2008), pp. 259–304. arXiv: math/0512438. url: http://dx.doi.org/10.1017/is007011015jkt013.

[PRS09]

David Pask, Adam Rennie, and Aidan Sims. “Noncommutative manifolds from graph and \(k\)-graph \(C^*\)-algebras”. In: Comm. Math. Phys. 292.3 (2009), pp. 607–636. arXiv: math/0701527. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0926-x.