小圏のホモトピー論

小圏を幾何学的対象とみなし, その性質を調べることは重要である。基本的なのは, 小圏の圏から simplicial set の圏への nerve functor, そして, それの幾何学的実現を行った分類空間を取る functor である。 その分類空間のホモトピー型を調べるときの基本的な定理として, Quillen が [Qui73] で証明した Theorem A と B がある。

• 小圏の nerve と分類空間
• Quillen の Theorem A と B

ある monoidal category \(\bm {V}\) の category object になっている小圏 (つまり \(\bm {V}\) での internal category) の場合には, nerve は \(\bm {V}\) における simplicial object になる。この意味で, nerve の方 が基本的な functor である。

いくつかの \(\bm {V}\) については, 「幾何学的実現」をとり分類空間を構成することもできる。例えば, \(\bm {V}\) が位相空間の圏の場合である。

また, \(C\) が \(\bm {V}\) で enrichされた小圏の場合は, その nerve \(N_{\bullet }C\) は \(\bm {V}\) の simplicial object にはならない。 \(N_{0}C\) は単なる集合で, \(\bm {V}\) の object ではないからである。 そのような場合でも, nerve や幾何学的実現に対応するものを定義できるときもある。 例えば, \(\bm {V}\) が小圏の圏の場合, \(\bm {V}\) で enrich された category とは, strict \(2\)-category であるが, それに対しては, nerve の構成にいくつかの方法がある。

• \(2\)-categoryやそれに類するものの nerve や分類空間

分類空間あるいは nerve をとることにより, 小圏はホモトピー論の手法を用いて調べることができるようになる。 その基本的な性質としては, Quillenの [Qui73] をみるとよい。他には, Weibel の本 [Wei13] の第IV章が便利である。各種小圏について, この分類空間を取って位相空間として考える手法は重要である。

• poset のホモトピー論
• トポロジーにおける groupoid
• 群の作用する空間のトポロジー

Poset については, 組み合せ論的な視点から詳しく研究されているので, その結果を小圏に一般化するのは興味深い問題である。 その一つの例として, Leinster による小圏のEuler characteristic の定義がある。

• 組み合せ論的に定義された Euler標数

Euler標数と言えばホモロジーであるが, small category の(コ)ホモロジーも様々な場面で登場する。

• small category の (co)homology

より現代的な言葉を用いると, 小圏のホモトピー論とは, 小圏の圏に モデル圏の構造を入れることである。 そして nerve をとる functor が weak equivalence を保つようにできるとよい。 そのようなモデル構造としては, Thomason が [Tho80] で定義したものがある。 一部不備があり, Cisinski が [Cis99] で修正している。

• Thomason の model structure

Gagna の [Gag18] によると, nerve functor が小圏の category の homotopy category と simplicial set の category の homotopy の間の圏同値であることは, Thomason よりずっと前に, Illusie の thesis [Ill71; Ill72] に書かれているらしい。ただし, Quillen よるそうであるが。 それを model category の言葉を用いて精密化したのが, Thomason の定理であると解釈すべきだろう。

もっとも, nerve functor には色々欠点もある。例えば, Fritsch と Latch により [FL79; FL81] で指摘されているように, nerve functor の left adjoint \(c\), つまり simplicial set を “category化” する functor は nerve functor の inverse になっていない。

• \(n\ge 2\) に対し \(N(c(\Delta ^n/\partial \Delta ^n)) \cong \Delta ^0\)
• \(n\ge 2\) に対し \(N(c(\Sd ((\Delta ^n/\partial \Delta ^n))) \cong \Delta ^1\)

そのために, Lee [Lee72] や Latch [Lat77] などの \(c\) の代わりとなる functor を構成する試みがある。Latch と Thomason と Wilson は, [LTW79] で Latch の構成した functor \(\Gamma \) の right adjoint と nerve functor \(N\) の比較をし, 各 object で weak equivalence になることを示している。

一方, 小圏に対しては simplicial set の細分に対応する操作もできる。

• small category の細分

小圏の圏には, もう一つ, 圏の同値を weak equivalence とするモデル構造も定義できる。Joyal と Tierney により, [JT91] で定義された。

• Joyal と Tierney の model structure (folk model structure)

他にも小圏のホモトピー論の試みとしては, Evrard [Evr75] や Hoff [Hof75] のものもある。Evrard は morphism を道と考え, それによりホモトピーや path space や loop space の類似を構成していて, Thomason の model structure より直感的に分かりやすい。Minian により [Min02] などで詳しく調べられている。Minian は, このホモトピーにより小圏の圏が \(\Lambda \)-cofibration category という構造を持ち, ホモトピー圏が構成できることを示している。

• 小圏の圏の \(\Lambda \)-cofibration structure

小圏より基本的な構造である quiver の圏のモデル構造については, Bisson と Tsemo により [BT09] で構成されたものがある。その元になっているのは, Enochs と Herzog の [EH99] のようであるが。

Kuber と Wilding [KW] は, nerve や分類空間を取らずに, category theory の言葉だけで小圏のホモトピー論を構築することを考えている。

高次の小圏のホモトピー論も色々考えられている。 Strict \(2\)-category の Thomason 流のホモトピー論は Chiche の [Chi15; Chi] や Ara の [Ara] で調べられている。

Strict \(n\)-category については, Ara と Maltsiniotis の一連の研究 [AM14; AM] や Gagna の [Gag18] がある。 Strict \(\omega \)-category については, Steiner の augmented directed complex を用いたアプローチ [Ste04]がある。

References

[AM]

Dimitri Ara and Georges Maltsiniotis. The homotopy type of the \(\infty \)-category associated to a simplicial complex. arXiv: 1503.02720.

[AM14]

Dimitri Ara and Georges Maltsiniotis. “Vers une structure de catégorie de modèles à la Thomason sur la catégorie des \(n\)-catégories strictes”. In: Adv. Math. 259 (2014), pp. 557–654. arXiv: 1305.5086. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.03.013.

[Ara]

Dimitri Ara. Model category structures à la Thomason on 2-Cat. arXiv: 1607.03644.

[BT09]

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[Chi]

Jonathan Chiche. La théorie de l’homotopie des 2-catégories. arXiv: 1411.6936.

[Chi15]

Jonathan Chiche. “Théories homotopiques des 2-catégories”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 56.1 (2015), pp. 15–75. arXiv: 1309. 0191.

[Cis99]

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[EH99]

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[Evr75]

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[FL79]

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[FL81]

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[Gag18]

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[Ill72]

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[Lat77]

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Elias Gabriel Minian. “\(\mathcal {C}at\) as a \(\Lambda \)-cofibration category”. In: J. Pure Appl. Algebra 167.2-3 (2002), pp. 301–314. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(01)00034-2.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973, pp. 85–147.

[Ste04]

Richard Steiner. “Omega-categories and chain complexes”. In: Homology Homotopy Appl. 6.1 (2004), pp. 175–200. arXiv: math/0403237. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839551.

[Tho80]

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[Wei13]

Charles A. Weibel. The \(K\)-book. Vol. 145. Graduate Studies in Mathematics. An introduction to algebraic \(K\)-theory. Providence, RI: American Mathematical Society, 2013, pp. xii+618. isbn: 978-0-8218-9132-2.