Comma Category

Comma category は, overcategory や undercategory とも呼ばれる。 より一般化した形も含めて Mac Lane の本 [Mac98] に書いてある。

トポロジーの中には, fiberwise topology という分野もあるが, これは空間 \(X\) を fix し comma category \(\category{Top}\downarrow X\) を調べる分野と言える。

• fiberwise あるいは parametrized topology

代数的トポロジーでは, Eilenberg-Moore spectral sequence の構成や, Goodwillie calculus で使われている。

Day と Street [DS04] は, \(\category{Set}\downarrow X\times X\) が, 集合 \(X\) を頂点の集合とする quiver の圏であること, そしてそれが pull back により monoidal structure を持つことに着目し, object の集合が \(X\) である small category を \(\category{Set}\downarrow X\times X\) の monoid object として定義できることを発見した。この視点は, small category の Hochschild-Mitchell homology を理解するときに, 有用である。

他に comma category が現れる場面としては, Quillen の Theorem A と B, よって fibered category の理論が重要である。

また, cellular stratified space の理論でも, 重要な役割を果す。

References

[DS04]

Brian Day and Ross Street. “Quantum categories, star autonomy, and quantum groupoids”. In: Galois theory, Hopf algebras, and semiabelian categories. Vol. 43. Fields Inst. Commun. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 187–225. arXiv: math/0301209.

[Mac98]

Saunders Mac Lane. Categories for the working mathematician. Second. Vol. 5. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1998, pp. xii+314. isbn: 0-387-98403-8.