高次の圏を用いた微分幾何学の拡張

可微分多様体を調べる際に圏と関手の言葉を用いるとよいことに, 最初に気がついたのが誰なのかは知らないが, 遅くとも1950年代には Ehresmann などが考えていたのではないかと思う。

最近になって, 高次の圏が使われるようになったのは, gerbe などの Grothendieck が導入した概念が一般的になったからだろう。

古典的な微分幾何学では, fiber bundle が基本的な道具であるが, 高次の bundle を用いて, より詳しい構造を記述しようというわけである。

例えば, gerbe 上の connection については, Schreiber と Waldorf [SW09; SW11; SW13] が色々調べている。

更に, その categorification を考えているのは, Martins らである。例えば, [MP11] では, 可微分多様体に対して fundamental Gray \(3\)-groupoid を定義している。Gohla [Goh14] は, higher gauge theory のために Gray-enriched category の間の mapping space を定義している。

References

[Goh14]

Björn Gohla. “Mapping spaces of \(\mathsf {Gray}\)-categories”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), No. 5, 100–187. arXiv: 1212.0496.

[MP11]

João Faria Martins and Roger Picken. “The fundamental Gray 3-groupoid of a smooth manifold and local 3-dimensional holonomy based on a 2-crossed module”. In: Differential Geom. Appl. 29.2 (2011), pp. 179–206. arXiv: 0907.2566. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.difgeo.2010.10.002.

[SW09]

Urs Schreiber and Konrad Waldorf. “Parallel transport and functors”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 4.1 (2009), pp. 187–244. arXiv: 0705. 0452.

[SW11]

Urs Schreiber and Konrad Waldorf. “Smooth functors vs. differential forms”. In: Homology Homotopy Appl. 13.1 (2011), pp. 143–203. arXiv: 0802.0663. url: http://dx.doi.org/10.4310/HHA.2011.v13.n1.a6.

[SW13]

Urs Schreiber and Konrad Waldorf. “Connections on non-abelian gerbes and their holonomy”. In: Theory Appl. Categ. 28 (2013), pp. 476–540. arXiv: 0808.1923.