Ring of Witt Vectors

可換環 \(R\) に対し, \(R\) の Witt vector の成す環 \(W(R)\) が定義される。素 数 \(p\) に対しては, \(R\) の \(p\)-typical Witt vector の成す環 \(W_p(R)\) も定義される。より一般に約数を取ることで閉じている自然数の集合 \(P\) に対 し, \(W_P(R)\) が定義される。これらは, 代数的トポロジーでは, 複素コボルディズム, つまり formal group law との関係で登場する。

最初に勉強するときはどれを見ればよいのだろうか。Hazewinkel の formal group law の本 [Haz78] には書いてある。arXivには, Hazewinkel の survey [Haz09] がある。 この Hazewinkel の survey では, quadratic form の同値類として定義されるものと混同しないように, Witt ring と呼ばないように注意してある。ちょっと長いが, こちらは ring of Witt vectors と呼んだ方がよいようである。

この Secret Blogging Seminar の post によると, Rabinoff による “superb guide” がある。かつては, Rabinoff のホームページから download できるようになっていたが, 現在では arXiv で [Rab] として公開されている。

Kaledin の [Kal18b] は, 自身が導入した Hochschild-Witt complex の解説であるが, \(p\)進数から解説してあり, 分り易い。

その equivariant 版は, [DS89] で定義された。Brun が [Bru05; Bru07] で調べている。

• \(W(R)\)
• \(W_p(R)\)

\(W(R)\) は, symmetric function とも関係が深い。Noncommutative symmetric function を用いて, Witt vector と free Lie algebra の組み合せ論や free monoid の Lazard による分解などとの関係を述べたのが Luque と Thibon の [LT07] である。

その定義は, Knebusch [Kne77] により scheme に, そして Borger [Bor11] により algebraic space の圏に拡張されている。

Cuntz と Deninger は, [CD14] でより構成が簡単なもの \(C(R)\) で perfect \(\F _p\)-algebra に対しては \(W(R)\) と一致するものを定義している。

Kaledin [Kal18a] によると, Serre が [Ser58] で Weil cohomology を定義しようとして Witt vector を用いて行なった構成の正当性を示すのが, Deligne と Illusie の de Rham-Witt complex らしい。

• de Rham-Witt complex

一方で, 非可換幾何の立場では, いわゆる Hochschild-Kostant-Rosenberg の定理により, de Rham complex の代用として Hochschild homology が使われている。更に, Hesselholt [Hes97; Hes05] による (可換とは限らない) associative algebra に対する Witt vector の構成がある。

これらを全て統合する, noncommutative Witt vector の理論を構築するというのが, Kaledin の試み [Kal18a] である。そ の project は [Kal19] での Hochschild-Witt complex の構成で完成したらしい。

• Hochschild-Witt complex

References

[Bor11]

James Borger. “The basic geometry of Witt vectors, I: The affine case”. In: Algebra Number Theory 5.2 (2011), pp. 231–285. arXiv: 0801.1691. url: http://dx.doi.org/10.2140/ant.2011.5.231.

[Bru05]

Morten Brun. “Witt vectors and Tambara functors”. In: Adv. Math. 193.2 (2005), pp. 233–256. arXiv: math / 0304495. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.05.002.

[Bru07]

M. Brun. “Witt vectors and equivariant ring spectra applied to cobordism”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 94.2 (2007), pp. 351–385. arXiv: math/0411567. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdl010.

[CD14]

Joachim Cuntz and Christopher Deninger. “An alternative to Witt vectors”. In: Münster J. Math. 7.1 (2014), pp. 105–114. arXiv: 1311. 2774. url: https://doi.org/10.1080/18756891.2013.858905.

[DS89]

Andreas W. M. Dress and Christian Siebeneicher. “The Burnside ring of the infinite cyclic group and its relations to the necklace algebra, \(\lambda \)-rings, and the universal ring of Witt vectors”. In: Adv. Math. 78.1 (1989), pp. 1–41. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(89)90027-3.

[Haz09]

Michiel Hazewinkel. “Witt vectors. I”. In: Handbook of algebra. Vol. 6. Vol. 6. Handb. Algebr. Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2009, pp. 319–472. arXiv: 0804 . 3888. url: http://dx.doi.org/10.1016/S1570-7954(08)00207-6.

[Haz78]

Michiel Hazewinkel. Formal groups and applications. Vol. 78. Pure and Applied Mathematics. New York: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1978, xxii 573pp. isbn: 0-12-335150-2.

[Hes05]

Lars Hesselholt. “Correction to: “Witt vectors of non-commutative rings and topological cyclic homology” [Acta Math. 178 (1997), no. 1, 109–141]”. In: Acta Math. 195 (2005), pp. 55–60. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02588050.

[Hes97]

Lars Hesselholt. “Witt vectors of non-commutative rings and topological cyclic homology”. In: Acta Math. 178.1 (1997), pp. 109–141. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02392710.

[Kal18a]

D. Kaledin. “Witt vectors as a polynomial functor”. In: Selecta Math. (N.S.) 24.1 (2018), pp. 359–402. arXiv: 1602.04254. url: https://doi.org/10.1007/s00029-017-0365-z.

[Kal18b]

D. Kaledin. “Witt vectors, commutative and non-commutative”. In: Uspekhi Mat. Nauk 73.1(439) (2018), pp. 3–34. arXiv: 1708.05660. url: https://doi.org/10.4213/rm9796.

[Kal19]

D. Kaledin. “Hochschild-Witt complex”. In: Adv. Math. 351 (2019), pp. 33–95. arXiv: 1604 . 01588. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.05.007.

[Kne77]

Manfred Knebusch. “Symmetric bilinear forms over algebraic varieties”. In: Conference on Quadratic Forms—1976 (Proc. Conf., Queen’s Univ., Kingston, Ont., 1976). Kingston, Ont.: Queen’s Univ., 1977, 103–283. Queen’s Papers in Pure and Appl. Math., No. 46.

[LT07]

Jean-Gabriel Luque and Jean-Yves Thibon. “Noncommutative symmetric functions associated with a code, Lazard elimination, and Witt vectors”. In: Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 9.2 (2007), pp. 59–72. arXiv: math/0607254. url: https://doi.org/10.3390/e9020058.

[Rab]

Joseph Rabinoff. The Theory of Witt Vectors. arXiv: 1409.7445.

[Ser58]

Jean-Pierre Serre. “Sur la topologie des variétés algébriques en caractéristique \(p\)”. In: Symposium internacional de topología algebraica International symposium on algebraic topology. Universidad Nacional Autónoma de México and UNESCO, Mexico City, 1958, pp. 24–53.