N乗が0になる微分を用いたホモロジー代数

Kapranov の [Kap] の最初にあるように, chain complex の定義で

「どうして\(d^3=0\)ではなく\(d^2=0\)なのか」

というのは, 自然な疑問であり, ホモロジー代数が誕生したときから, 何人もの人が, \(d^{2}=0\) の代りに \(d^{N}=0\) を仮定するとどうなるか, を考察している。歴史的には, Mayer [May42] が考えたのが最初なのだろうか。1942年だから, Cartan と Eilenberg の本 [CE99] が出版 (1956年) されるよりもかなり前のことである。

Kapranov は, simplicial set \(X\) の chain complex \((C_*(X),\partial )\) の \(q\)-analogue, つまり \(q^N=1\) となるパラメーター \(q\) を用いて \[ \partial _q = \sum _{i=0}^{n} q^id_i : C_n(X) \longrightarrow C_{n-1}(X) \] と定義すると, \(\partial _q^N=0\) が成り立つことを示している。 Kapranov はこのようなものを \(N\)-complex と呼んで, そのホモロジーも定義している。Cibils と Solotar と Wisbauer [CSW07] は, Kapranov の定義したホモロジーを amplitude homology と呼んでいる。彼等は, \(N\)-complex は, ある linear category 上の functor とみなせることを示している。

• amplitude homology

90年代後半に \(N\)-complex は「再発見」されたようで, この Kapranov の論文以外にも Kassel と Wambst の [KW98] や Dubois-Violette の [Dub96], Dubois-Violette と Kerner の [DK96] などの論文がある。それより前, 80年代に G. Kato も [Kat86]で類似のものを考えているが, 注目はされなかったようである。 Khovanov と Qi の [KQ15] によると, Sarkaria と いう人 (unpublished) も考えていたようである。

Kapranov の論文では \(3\)-complex のホモロジーの応用として Snake Lemma が得られることが示されていて, 通常のホモロジー代数にも使えそうである。

• \(N\)-complex
• \(N\)-complexの間の morphism
• \(N\)-complexの間の morphism の間の homotopy
• \(N\)-complexのホモロジー

\(N\)-complex の morphism に対する homotopy は Kassel と Wambst の [KW98] で定義されている。ホモロジーは, \[ 0 = d^N = d^p\circ d^{N-p} \] という分解に依るので, \(N-1\) 通りの取り方がある。

Chain complex の場合と同様, \(N\)-complex の category に model structureを定義することもできる。 Quillen-type のものは, Gillespie と Hovey [GH10] で, Strøm-type のものは Gillespie [Gil15] で与えられている。 一方, derived category は Iyama, Kato, Miyachi の [IKM17] で考えられている。

• \(N\)-complex の model category
• \(N\)-complex の derived category

Brightbill と Miemietz [BM] は Buchweitz の結果 [Buc86; Buc21] を \(N\)-complex に一般化するために, stable category の \(N\)-complex 版を導入している。

• \(N\)-stable category

Mirmohades の [Mir] では, chain complex の成す triangulated category の enhancement を構成するためにも使われている。

Dubois-Violette [Dub98] や Kapranov [Kap] は, simplicial set (simplicial module) に対して, 1の \(N\)乗根を用いて \(N\)-complex を作ることを考えているが, 位相空間の singular simplicial set に対して適用すれば, singular homology の \(q\)-analogue が得られる。Angel と Padilla [AP] は, その \(q\)-singular homology を調べている。Euclid 空間の凸集合については, 一点と同じになるようである。

Jonsson は chain complex に対する discrete Morse theory の一般化を preprint [Jon] で考えている。

Differential graded algebra (dg algebra) は, chain complex の成す monoidal category の monoid object だから, \(N\)-complex の monoidal category が定義できれば, そこでの monoid object として \(N\)-complex での類似が定義できる。

• \(N\)-dg algebra や関連した話題

References

[AP]

Mauricio Angel and Gabriel Padilla. \(q\)-Analog Singular Homology of Convex Spaces. arXiv: 1108.4346.

[BM]

Jeremy R. B. Brightbill and Vanessa Miemietz. The \(N\)-Stable Category. arXiv: 2109.07728.

[Buc21]

Ragnar-Olaf Buchweitz. Maximal Cohen-Macaulay modules and Tate cohomology. Vol. 262. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, [2021] ©2021, pp. xii+175. isbn: 978-1-4704-5340-4.

[Buc86]

Ragnar-Olaf Buchweitz. Maximal Cohen-Maccaulay Modules and Tate-Cohomology over Gorenstein Rings. 1986. url: http://hdl.handle.net/1807/16682.

[CE99]

Henri Cartan and Samuel Eilenberg. Homological algebra. Princeton Landmarks in Mathematics. With an appendix by David A. Buchsbaum, Reprint of the 1956 original. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1999, pp. xvi+390. isbn: 0-691-04991-2.

[CSW07]

Claude Cibils, Andrea Solotar, and Robert Wisbauer. “\(N\)-complexes as functors, amplitude cohomology and fusion rules”. In: Comm. Math. Phys. 272.3 (2007), pp. 837–849. arXiv: math/0605569. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-007-0210-x.

[DK96]

M. Dubois-Violette and R. Kerner. “Universal \(q\)-differential calculus and \(q\)-analog of homological algebra”. In: Acta Math. Univ. Comenian. (N.S.) 65.2 (1996), pp. 175–188. arXiv: q-alg/9608026.

[Dub96]

Michel Dubois-Violette. “Generalized differential spaces with \(d^N=0\) and the \(q\)-differential calculus”. In: Czechoslovak J. Phys. 46.12 (1996). Quantum groups and integrable systems, I (Prague, 1996), pp. 1227–1233. arXiv: q-alg/9609012. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01690337.

[Dub98]

Michel Dubois-Violette. “\(d^N=0\): generalized homology”. In: \(K\)-Theory 14.4 (1998), pp. 371–404. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007786403736.

[GH10]

James Gillespie and Mark Hovey. “Gorenstein model structures and generalized derived categories”. In: Proc. Edinb. Math. Soc. (2) 53.3 (2010), pp. 675–696. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0013091508000709.

[Gil15]

James Gillespie. “The homotopy category of \(N\)-complexes is a homotopy category”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.1 (2015), pp. 93–106. arXiv: 1207.6792. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0043-6.

[IKM17]

Osamu Iyama, Kiriko Kato, and Jun-ichi Miyachi. “Derived categories of \(N\)-complexes”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 96.3 (2017), pp. 687–716. arXiv: 1309.6039. url: https://doi.org/10.1112/jlms.12084.

[Jon]

Jakob Jonsson. A refinement of amplitude homology and a generalization of discrete Morse theory. url: https://people.kth.se/~jakobj/doc/submitted/amplitude.pdf.

[Kap]

M. M. Kapranov. On the \(q\)-analog of homological algebra. arXiv: q- alg/9611005.

[Kat86]

Goro Kato. “On the notion of precohomology”. In: Portugal. Math. 43.3 (1985/86), pp. 307–316.

[KQ15]

Mikhail Khovanov and You Qi. “An approach to categorification of some small quantum groups”. In: Quantum Topol. 6.2 (2015), pp. 185–311. arXiv: 1208.0616. url: https://doi.org/10.4171/QT/63.

[KW98]

Christian Kassel and Marc Wambst. “Algèbre homologique des \(N\)-complexes et homologie de Hochschild aux racines de l’unité”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 34.2 (1998), pp. 91–114. arXiv: q-alg/ 9705001. url: http://dx.doi.org/10.2977/prims/1195144755.

[May42]

W. Mayer. “A new homology theory. I, II”. In: Ann. of Math. (2) 43 (1942), pp. 370–380, 594–605.

[Mir]

Djalal Mirmohades. Simplicial Structure on Complexes. arXiv: 1404. 0628.