Simplicial Arrangements

実超平面配置の中で, chamber が全て simplicial cone になっているものを simplicial arrangement という。

Cuntz と Geis [CG] によると, simplicial arrangement は Melchior [Mel41] が1940年代に調べたのが最初のようである。

1970頃には, Grünbaum が 実射影平面中の simplicial arrangement の list [Grü71] を作っている。その updated版が [Grü09] である。

Cuntz [Cun] はその Grünbaum のカタログにない実射影平面内の simplicial arrangements を見つけている。

トポロジーの視点からの simplicial arrangement の重要な性質は, その複素化の補集合が \(K(\pi ,1)\) であることだろう。 これは Deligne [Del72] の結果である。

Cuntz と Geis [CG] は simpliciality という概念を導入している。

Cuntz [Cun11] は, simplicial arrangement の特別なものとして, crystallographic arrangement という class を定義している。 Cartan scheme や Weyl groupoid と関係が深いものである。

• crystallographic arrangement

Cuntz は Heckenberger との共著 [CH15] でその分類を行なっている。

References

[CG]

Michael Cuntz and David Geis. Combinatorial simpliciality of arrangements of hyperplanes. arXiv: 1302.2052.

[CH15]

Michael Cuntz and István Heckenberger. “Finite Weyl groupoids”. In: J. Reine Angew. Math. 702 (2015), pp. 77–108. arXiv: 1008.5291. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0033.

[Cun]

Michael Cuntz. Simplicial arrangements with up to 27 lines. arXiv: 1108.3000.

[Cun11]

M. Cuntz. “Crystallographic arrangements: Weyl groupoids and simplicial arrangements”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 43.4 (2011), pp. 734–744. arXiv: 1006.1997. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdr009.

[Del72]

Pierre Deligne. “Les immeubles des groupes de tresses généralisés”. In: Invent. Math. 17 (1972), pp. 273–302.

[Grü09]

Branko Grünbaum. “A catalogue of simplicial arrangements in the real projective plane”. In: Ars Math. Contemp. 2.1 (2009), pp. 1–25.

[Grü71]

Branko Grünbaum. “Arrangements of hyperplanes”. In: Proceedings of the Second Louisiana Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (Louisiana State Univ., Baton Rouge, La., 1971). Baton Rouge, La.: Louisiana State Univ., 1971, pp. 41–106.

[Mel41]

E. Melchior. “Über Vielseite der projektiven Ebene”. In: Deutsche Math. 5 (1941), pp. 461–475.