ホモトピー群のexponentの問題

ホモトピー群を具体的に計算するのは非常に難しい。そこで, 各 \(\pi _n(X)\) の具体的な計算はあきらめて, \(n\) について集めた graded Abelian group \(\pi _*(X)\) 全体の構造を調べようという戦略が考えられる。

安定ホモトピー論の世界では, BP理論などを用いて, 各 \(v_n\) に関し周期的な部分に分けて考える, ということが行なわれている。 ホモトピー群の元を個別に調べるのではなく, \(v_n\)の作用で結びついた列として考えようというわけである。

非安定ホモトピー論でも, \(v_n\)周期的な部分を調べることは重要な問題であり, \(v_1\)周期的な部分については, Don Davis を中心に球面やLie群について調べられている。Davis の [Dav03] にある参考文献を参照のこと。

各\(n\)について, \(v_n\)-periodic な部分があれば, periodic でない部分, つまり \(v_n\)-torsion の部分がある。安定ホモトピー群では, 例えば球面の場合, \(v_0\)-torsion 部分には, 任意に大きな位数の元が存在することが分かっていて, 一般に \(v_n\)-torsion 部分についての良い情報を得ることは難しい。 ところが空間のホモトピー群は, \(v_0\)-torsion 部分が exponent を持つことがあり, 更にその場合 exponent が空間の次元に大きく依存していることが多い。

そこで, 非安定ホモトピー論ではホモトピー群の exponent が重要な問題の一つとなっている。

最初に, 球面のホモトピー群の \(v_0\)-exponent を調べたのは, James [Jam57] (\(p=2\))と 戸田 [Tod56] (\(p\):奇素数)である。そして, 戸田の奇素数に関する exponent の結果を best possible な評価に改良したのが, Cohen と Moore と Neisendorfer の仕事である。 そこでは differential graded Lie algebraや mod \(p\) Hurewicz 定理などの道具が巧みに用いられている。 原論文やそれに関連した三人の論文 [CMN79a; CMN79c; CMN79b; CMN87] はどれも読み易いので, この問題に興味を持った人は原論文を読むことをお勧めする。 その際, 三人の仕事の基礎になっている Neisendorfer の [Nei80] を手元に置いておくとよい。

Neisendorfer の本 [Nei10]は, この Cohen-Moore-Neisendorfer の結果を目標に書かれていて, 必要な道具も全て含まれている。今なら, この本を読むのがよいと思う。

Cohen と Moore と Neisendorfer の仕事の中で, 重要なのは Moore空間のループ空間の分解であるが, それを拡張したのは Anick [Ani93]である。Anickは, 私が Rochester大学の学生だったときに, visitor として半年滞在し, この本の内容を講義してくれた。一枚の紙を縦二つに分けて, びっしりと書いたメモを見ながら, 非常に濃い内容の講義をしてくれたのが印象的だった。そして, その講義が終り, Rochester大学での滞在が終ると同時に, 数学をやめて医学生になってしまった。 その中での fibration の構成を見直したのが Gray とTheriault の [GT10] である。

  • Anick の空間

Theriault は, [The] でそれらの結果を用いて Cohen-Moore-Neisendorferのexponent に関する結果の別証を得ている。Gray は, 更に [Grab] でその性質を調べている。\(2\)-primary analogue は, Theriault [The11] により構成されている。

Gray や Theriault は, 古典的なホモトピー論の手法を用いているが, これだけでは限界がある。実際, Cohen-Moore-Neisendorfer の仕事では, differential graded Lie algebra が book keeping のために重要な役割を果している。 ホモトピー群のような複雑なものを調べるためには, 組み合せ論的情報をうまく扱う必要がある。そのために Fred Cohen が [Coh95] で導入した有限生成群を用いようというのが, Cohen, Mikhailov, Wuの [CMW] である。

  • Cohen group

Chromaticな視点からは, 球面の次に来るのは Moore space, そして \(V(1)\) であるが, それについては Brayton Gray が [Gra93a; Gra93b] で, EHP spectrum の概念を導入し, いくつかの予想を挙げている。その後, Gray 自身 [AG95] や Theriault ら [The03; Nei99] が, Anick の仕事をもとに研究している。現状については, Gray の [Graa] を見るとよい。

球面以外の空間の exponentについては, 例えば, \(SU(n)\) が調べられている。Don Davis と Sun の評価 [DS], そして Davis と Theriault の結果 [DT] がある。

一般の空間については, John Mooreの予想 [Sel88] がある。

  • 単連結なCW複体 \(X\) について, \(H_*(X;\Q )\) も \(\pi _*(X)\otimes \Q \) も共に有限次元 (つまり elliptic space) ならば, 全ての素数 \(p\) に関し, \(\pi _*(X)\) の \(p\)-torsion部分は exponent を持つ。

例としては, finite Hopf space [Sta02] がある。 Theriaultら [HST] は, generalized moment-angle complex に対して成り立つことを示している。

Stanley は, Hopf space の \(p\)-exponent を考えるときには, rational homology の代りに mod \(p\)ホモロジーの有限性で十分であることを示している。また, [Cha+08] では, 有限性が Steenrod代数上の有限生成性に弱められることも示されている。

ホモトピー群全体ではなく, metastable range について考えようというのが, Mikhailov と Wu の [MW]である。mod 2 Moore space のホモトピー群の metastable range の exponent を調べている。

References

[AG95]

David Anick and Brayton Gray. “Small \(H\) spaces related to Moore spaces”. In: Topology 34.4 (1995), pp. 859–881. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(95)00001-1.

[Ani93]

David Anick. Differential algebras in topology. Vol. 3. Research Notes in Mathematics. Wellesley, MA: A K Peters Ltd., 1993, pp. xxvi+274. isbn: 1-56881-001-6.

[Cha+08]

Wojciech Chachólski, Wolfgang Pitsch, Jérôme Scherer, and Don Stanley. “Homotopy exponents for large \(H\)-spaces”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 16 (2008), Art. ID rnn061, 5. arXiv: 0804.1470. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnn061.

[CMN79a]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “Decompositions of loop spaces and applications to exponents”. In: Algebraic topology, Aarhus 1978 (Proc. Sympos., Univ. Aarhus, Aarhus, 1978). Vol. 763. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1979, pp. 1–12.

[CMN79b]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “The double suspension and exponents of the homotopy groups of spheres”. In: Ann. of Math. (2) 110.3 (1979), pp. 549–565. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971238.

[CMN79c]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “Torsion in homotopy groups”. In: Ann. of Math. (2) 109.1 (1979), pp. 121–168. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971269.

[CMN87]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “Exponents in homotopy theory”. In: Algebraic topology and algebraic \(K\)-theory (Princeton, N.J., 1983). Vol. 113. Ann. of Math. Stud. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1987, pp. 3–34.

[CMW]

Frederick R. Cohen, Roman Mikhailov, and Jie Wu. A combinatorial approach to the exponents of Moore spaces. arXiv: 1506.00948.

[Coh95]

F. R. Cohen. “On combinatorial group theory in homotopy”. In: Homotopy theory and its applications (Cocoyoc, 1993). Vol. 188. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, pp. 57–63. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/188/02233.

[Dav03]

Donald M. Davis. “Representation types and 2-primary homotopy groups of certain compact Lie groups”. In: Homology Homotopy Appl. 5.1 (2003), pp. 297–324. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839936.

[DS]

Donald M. Davis and Zhi-Wei Sun. A number-theoretic approach to homotopy exponents of \(\mathrm {SU}(n)\). arXiv: math/0508083.

[DT]

Donald M Davis and Stephen D Theriault. Odd-primary homotopy exponents of compact simple Lie groups. arXiv: math/0601441.

[Graa]

Brayton Gray. Abelian properties of Anick spaces. arXiv: 1208. 3733.

[Grab]

Brayton Gray. Decompositions involving Anick’s spaces. arXiv: 0804.0777.

[Gra93a]

Brayton Gray. “\(EHP\) spectra and periodicity. I. Geometric constructions”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 340.2 (1993), pp. 595–616. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154668.

[Gra93b]

Brayton Gray. “\(EHP\) spectra and periodicity. II. \(\Lambda \)-algebra models”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 340.2 (1993), pp. 617–640. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154669.

[GT10]

Brayton Gray and Stephen Theriault. “An elementary construction of Anick’s fibration”. In: Geom. Topol. 14.1 (2010), pp. 243–275. arXiv: 0710 . 1024. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2010.14.243.

[HST]

Yanlong Hao, Qianwen Sun, and Stephen Theriault. Moore’s Conjecture for Polyhedral Products. arXiv: 1701.07720.

[Jam57]

I. M. James. “On the suspension sequence”. In: Ann. of Math. (2) 65 (1957), pp. 74–107. url: https://doi.org/10.2307/1969666.

[MW]

Roman Mikhailov and Jie Wu. On the metastable homotopy of mod 2 Moore spaces. arXiv: 1506.00945.

[Nei10]

Joseph Neisendorfer. Algebraic methods in unstable homotopy theory. Vol. 12. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, Cambridge, 2010, pp. xx+554. isbn: 978-0-521-76037-9. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511691638.

[Nei80]

Joseph Neisendorfer. “Primary homotopy theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 25.232 (1980), pp. iv+67. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0232.

[Nei99]

Joseph Neisendorfer. “Product decompositions of the double loops on odd primary Moore spaces”. In: Topology 38.6 (1999), pp. 1293–1311. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(98)00055-X.

[Sel88]

Paul Selick. “Moore conjectures”. In: Algebraic topology—rational homotopy (Louvain-la-Neuve, 1986). Vol. 1318. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1988, pp. 219–227. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0077805.

[Sta02]

Don Stanley. “Exponents and suspension”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 133.1 (2002), pp. 109–116. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004101005825.

[The]

Stephen Theriault. Anick’s fibration and the odd primary homotopy exponent of spheres. arXiv: 0803.3205.

[The03]

Stephen D. Theriault. “Proofs of two conjectures of Gray involving the double suspension”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 131.9 (2003), 2953–2962 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-03-06847-3.

[The11]

Stephen D. Theriault. “2-primary Anick fibrations”. In: J. Topol. 4.2 (2011), pp. 479–503. arXiv: 0804 . 2359. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtr008.

[Tod56]

Hirosi Toda. “On the double suspension \(E^2\)”. In: J. Inst. Polytech. Osaka City Univ. Ser. A. 7 (1956), pp. 103–145.