ホモトピー群の変種

ホモトピー群の変種として, 最も古いものの一つに Peterson [Pet56] による mod \(p\) ホモトピー群がある。定義域を, 球面ではなく mod \(p\) Moore空間にしたものである。その性質は, Neisendorfer が [Nei80] で詳しく調べている。そして, その結果は, 有名な Cohen-Moore-Neisendorfer [CMN79b; CMN79a] の ホモトピー群のexponentの問題の仕事に使われた。

• Abel群 \(G\) を係数に持つホモトピー群
• mod \(p\) Hurewicz の定理
• mod \(p\) ホモトピー群における Samelson積

他にも球面を別の空間に変えて定義されたものとして, Hawaiian earring group がある。 球面の代わりに, 球面の可算個の wedge (Hawaiian earring) を用いたものであり, [KR06; KR10] で定義され使われている。

• Hawaiian earring group

Fox [Fox45; Fox48] は, 基本群の高次ホモトピー群への作用と Whitehead product を統一して扱うために, torus homotopy group というものを導入した。

• torus homotopy group

Blakers と Massey [BM51; BM52; BM53] は, ホモトピー群の切除同型について調べるために, triad のホモトピー群を定義した。より一般に \(n\)-ad のホモトピー群も定義している。

• homotopy groups of triads
• homotopy groups of \(n\)-ads

ホモトピー群は, 連続写像の集合を同値関係で割って定義されているが, 連続写像の集合には compact-open topology が入るから, その位相により, ホモトピー群を位相群として扱えないか, というアイデアもある。

• topological fundamental group と topological homotopy group

Mod \(p\) ホモトピー群に関係したものとして, \(v_1\)周期的ホモトピー群がある。

• \(v_1\)周期的ホモトピー群

\(v_1\)周期的ホモトピー群は, 有理ホモトピー群の次に考えるべきものである。 これは, ホモトピー群を高次周期性により分解して考える, という視点に基づいた分解であるが, ホモトピー群には, 他にも filtration を定義することができる。例えば, Guth が [Gut] で \(k\)-dilation を用いて定義しているものがある。

• Guth filtration

Guth [Gut13] によると, \(1\)-dilation と写像のhomotopy類の関係を最初に調べたのは Gromov [Gro78] であり, その後 \(k\)-dilation と homotopy の関係についての問題も [Gro96] で提示している。

Baues と Muro は secondary operation を考えるために, secondary homotopy群という概念を [BM08a] で定義した。それを用いて [BM08b] で secondary Whitehead product を定義している。他にも [BM08c] という研究も行なっている。

Simplicial set に対しては, その geometric realization を取ってできた空間のホモトピー群として定義したいところだが, 直接 simplicial な data から定義することもでき, その定義も重要である。

• simplicial set (Kan complex) のホモトピー群
• simplicial Abelian group のホモトピー群

有限 CW複体 \(L\) に対し \([L]\)-homotopy group というものも定義できる。Chigogidze [Chi02] により導入された。 [CK03] にも定義等がある。[Kar01] にその計算の試みがある。

• \([L]\)-homotopy group

Chigogidze と Karasev は, [CK03] で, \([L]\)-homotopy group の同型を誘導する写像を weak equivalence として, 位相空間の圏が モデル圏になることを示している。

Compact metrizable space に対しては, Steenrod homotopy group というものも定義できる。Melikhov の [Mel09] に Steenrod ホモトピー論についてまとめられている。

• Steenrod homotopy group

特異点を持つ多様体に対し, その特異点の情報も考慮に入れたものとして, intersection homotopy group がある。

• intersection homotopy group

特異点を持つ多様体は, stratified space として扱われることが多いが, Woolf の [Woo10] では, Whitney stratified space に対するホモトピー群に当るものとして, transversality を用いて transversal homotopy monoid というものが定義されている。

• transversal homotopy monoid

共に, stratified space に対して定義されるホモトピー群の類似であるが, それらの間の関係はどうなっているのだろう。

関数解析的な視点からは, DeJarnette, Hajlasz, Lukyanenko, Tyson の [Dej+14] で定義された, Lipschitz homotopy group や horizontal homotopy group がある。

• Lipschitz homotopy group
• horizontal homotopy group

多様体の間の写像の Sobolev 空間を調べるために導入された。Wenger と Young [WY14] が Heisenberg group の Lipschitz homotopy group を調べている。 Perry の [Per22] では, contact \(3\)-manifold の Lipschitz homotopy group が調べられている。

高次の圏, より正確には \(\infty \)-topos でもホモトピー群を考えることができる。 例えば, Lurie の本 [Lur09] の section 6.5.1 にある。 この nLab のページでは, そのようなものは categorical homotopy group と呼ばれている。他にも étale homotopy group の一般化であるものもあり, nLab のページでは geometric homotopy group と呼ばれている。

• categorical homotopy group
• geometric homotopy group

References

[BM08a]

Hans-Joachim Baues and Fernando Muro. “Secondary homotopy groups”. In: Forum Math. 20.4 (2008), pp. 631–677. arXiv: math/0604029. url: http://dx.doi.org/10.1515/FORUM.2008.032.

[BM08b]

Hans-Joachim Baues and Fernando Muro. “Smash products for secondary homotopy groups”. In: Appl. Categ. Structures 16.5 (2008), pp. 551–616. arXiv: math/0604031. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-007-9071-x.

[BM08c]

Hans-Joachim Baues and Fernando Muro. “The symmetric action on secondary homotopy groups”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 15.4 (2008), pp. 733–768. arXiv: math/0604030. url: http://projecteuclid.org/euclid.bbms/1225893951.

[BM51]

A. L. Blakers and W. S. Massey. “The homotopy groups of a triad. I”. In: Ann. of Math. (2) 53 (1951), pp. 161–205. url: https://doi.org/10.2307/1969346.

[BM52]

A. L. Blakers and W. S. Massey. “The homotopy groups of a triad. II”. In: Ann. of Math. (2) 55 (1952), pp. 192–201. url: https://doi.org/10.2307/1969428.

[BM53]

A. L. Blakers and W. S. Massey. “The homotopy groups of a triad. III”. In: Ann. of Math. (2) 58 (1953), pp. 409–417. url: https://doi.org/10.2307/1969744.

[Chi02]

Alex Chigogidze. “Infinite dimensional topology and shape theory”. In: Handbook of geometric topology. North-Holland, Amsterdam, 2002, pp. 307–371.

[CK03]

Alex Chigogidze and Alexandr Karasev. “Topological model categories generated by finite complexes”. In: Monatsh. Math. 139.2 (2003), pp. 129–150. arXiv: math/0205014. url: https://doi.org/10.1007/s00605-002-0532-x.

[CMN79a]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “The double suspension and exponents of the homotopy groups of spheres”. In: Ann. of Math. (2) 110.3 (1979), pp. 549–565. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971238.

[CMN79b]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “Torsion in homotopy groups”. In: Ann. of Math. (2) 109.1 (1979), pp. 121–168. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971269.

[Dej+14]

Noel Dejarnette, Piotr Hajłasz, Anton Lukyanenko, and Jeremy T. Tyson. “On the lack of density of Lipschitz mappings in Sobolev spaces with Heisenberg target”. In: Conform. Geom. Dyn. 18 (2014), pp. 119–156. arXiv: 1109.4641. url: https://doi.org/10.1090/S1088-4173-2014-00267-7.

[Fox45]

Ralph H. Fox. “Torus homotopy groups”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31 (1945), pp. 71–74.

[Fox48]

Ralph H. Fox. “Homotopy groups and torus homotopy groups”. In: Ann. of Math. (2) 49 (1948), pp. 471–510. url: https://doi.org/10.2307/1969292.

[Gro78]

Mikhael Gromov. “Homotopical effects of dilatation”. In: J. Differential Geometry 13.3 (1978), pp. 303–310. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214434601.

[Gro96]

Mikhael Gromov. “Carnot-Carathéodory spaces seen from within”. In: Sub-Riemannian geometry. Vol. 144. Progr. Math. Birkhäuser, Basel, 1996, pp. 79–323.

[Gut]

Larry Guth. Homotopically non-trivial maps with small \(k\)-dilation. arXiv: 0709.1241.

[Gut13]

Larry Guth. “Contraction of areas vs. topology of mappings”. In: Geom. Funct. Anal. 23.6 (2013), pp. 1804–1902. arXiv: 1211.1057. url: https://doi.org/10.1007/s00039-013-0246-3.

[Kar01]

A. Karasev. “On \([L]\)-homotopy groups”. In: JP J. Geom. Topol. 1.3 (2001), pp. 301–310. arXiv: math/0001019.

[KR06]

U. Kh. Karimov and D. Repovsh. “Hawaiian groups of topological spaces”. In: Uspekhi Mat. Nauk 61.5(371) (2006), pp. 185–186. url: https://doi.org/10.1070/RM2006v061n05ABEH004363.

[KR10]

Umed H. Karimov and Dušan Repovš. “On noncontractible compacta with trivial homology and homotopy groups”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 138.4 (2010), pp. 1525–1531. arXiv: 0910.0531. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-09-10217-4.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Mel09]

S. A. Melikhov. “Steenrod homotopy”. In: Uspekhi Mat. Nauk 64.3(387) (2009), pp. 73–166. arXiv: 0812.1407. url: https://doi.org/10.1070/RM2009v064n03ABEH004620.

[Nei80]

Joseph Neisendorfer. “Primary homotopy theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 25.232 (1980), pp. iv+67. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0232.

[Per22]

Daniel Perry. “Lipschitz homotopy groups of contact 3-manifolds”. In: Real Anal. Exchange 47.1 (2022), pp. 75–96. arXiv: 2008.06928.

[Pet56]

Franklin P. Peterson. “Generalized cohomotopy groups”. In: Amer. J. math. 78 (1956), pp. 259–281.

[Woo10]

Jonathan Woolf. “Transversal homotopy theory”. In: Theory Appl. Categ. 24 (2010), No. 7, 148–178. eprint: \href{http://arxiv.org/abs/0910.3322}{arXiv:0910.3322}.

[WY14]

Stefan Wenger and Robert Young. “Lipschitz homotopy groups of the Heisenberg groups”. In: Geom. Funct. Anal. 24.1 (2014), pp. 387–402. arXiv: 1210.6943. url: https://doi.org/10.1007/s00039-014-0264-9.