Hopf algebra の拡大

Hopf algebra を群の一般化と考えると, 群に関係した代数的構造の Hopf algebra への拡張が考えられる。そのようなものとして, 例えば拡大がある。群に関係した拡大の理論としては, まずは群の拡大, そして体の Galois 理論が思い浮ぶ。

更に, Hopf algebra の代わりにその表現の category を考えることにより, ある種の linear monoidal category (tensor category) への一般化も考えられている。 Natale の [Nat] では, tensor category の extension も含めて解説されている。

Masuoka の [Mas96; Mas00] によると, 群のAbel群による拡大の理論, つまり \(2\)次元の群のコホモロジー類による分類の Hopf algebra での類似を最初に証明したのは, Singer [Sin72] のようである。その元になったのは, Gugenheim の [Gug62] のようであるが。 Singer のは, graded (connected) な場合であるが, ungraded な場合は Hofstetter [Hof94] による。

群が群に作用すると, 半直積が定義され, 群の拡大が得られる。更に, 群 \(G\) が algebra \(A\) に作用すると半直積の一般化として skew group algebra \(A[G]\) が定義されるが, これを Hopf algebra の作用に拡張したものは crossed product や smash product と呼ばれている。

• 群や Hopf algebra などの algebra への作用

一方, 体の拡大での Galois 群を Hopf algebra に取り替えることも考えられている。いわゆる Hopf-Galois extension の理論である。 Balan [Bal10] によると, Hopf-Galois extensions の研究は Chase と Harrison と Rosenberg の論文 [CHR65] と Chase と Sweedler [CS69] で始められたようである。その後定義が Kreimer と Takeuchi [KT81] により改良されたらしい。

Hopf algebra の extension と, derived category の関係を調べるのは自然な問題意識だと思うが, あまり考えられていないようである。He と Van Oystaeyen と Zhang が [HVZ10] で derived endomorphism ring を調べている。

References

[Bal10]

Adriana Balan. “Galois extensions for coquasi-Hopf algebras”. In: Comm. Algebra 38.4 (2010), pp. 1491–1525. arXiv: 0804.3046. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870902971304.

[CHR65]

S. U. Chase, D. K. Harrison, and Alex Rosenberg. “Galois theory and Galois cohomology of commutative rings”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 52 (1965), pp. 15–33.

[CS69]

Stephen U. Chase and Moss E. Sweedler. Hopf algebras and Galois theory. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 97. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1969, pp. ii+133.

[Gug62]

V. K. A. M. Gugenheim. “On extensions of algebras, co-algebras and Hopf algebras. I”. In: Amer. J. Math. 84 (1962), pp. 349–382. url: https://doi.org/10.2307/2372767.

[Hof94]

Irmengard Hofstetter. “Extensions of Hopf algebras and their cohomological description”. In: J. Algebra 164.1 (1994), pp. 264–298. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1994.1063.

[HVZ10]

Ji-Wei He, Fred Van Oystaeyen, and Yinhuo Zhang. “Derived \(H\)-module endomorphism rings”. In: Glasg. Math. J. 52.3 (2010), pp. 649–661. arXiv: 1007.4975. url: https://doi.org/10.1017/S0017089510000492.

[KT81]

H. F. Kreimer and M. Takeuchi. “Hopf algebras and Galois extensions of an algebra”. In: Indiana Univ. Math. J. 30.5 (1981), pp. 675–692. url: http://dx.doi.org/10.1512/iumj.1981.30.30052.

[Mas00]

Akira Masuoka. “Extensions of Hopf algebras and Lie bialgebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 352.8 (2000), pp. 3837–3879. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-00-02394-1.

[Mas96]

Akira Masuoka. “Extensions of Hopf algebras”. In: Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku 942 (1996). Deformation of group schemes and applications to number theory (Japanese) (Kyoto, 1995), pp. 53–65.

[Nat]

Sonia Natale. On the notion of exact sequence: from Hopf algebras to tensor categories. arXiv: 2003.12420.

[Sin72]

William M. Singer. “Extension theory for connected Hopf algebras”. In: J. Algebra 21 (1972), pp. 1–16. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(72)90031-2.