Tropical mathematics という分野があるらしい。 2005年2月に城崎のセミナーに参加して知った。
最初に読むものとしては, 例えば Brugallé と Shaw の [BS14] がよいかもしれない。 Tropical algebraic
geometry 寄りではあるが。その解説や Speyer と Sturmfels の [SS09] によると, 先駆的な仕事をした Brazil人の
Imre Simon という人にちなんで, Brazil \(=\) tropical ということで, tropical という名前が付いたらしい。
どの分野に入れるの適当なのかよく分からないが, とりあえず 組み合せ論のページから link を張った。 他にも Joswig の本 [Jos22]
がある。
Tropical semiring あるいは semifield という, 実数に変な積と和を定義した semiring 上で,
従来の代数をやると面白いことが分かるらしい。それにより, 様々な数学の分野が tropical化できるらしいのである。
-
\(\R \cup \{-\infty \}\) で \(\max \) を和, \(+\) を積として定義される semifield \(\mathbb {T}\)
もちろん, \(\R \cup \{\infty \}\) で \(\min \) を和, \(+\) を積として定義したものを用いても, 本質的には同じである。
少し変えて, 閉区間 \([0,1]\) 上で \(\max \) を和, \(\min \) を積として定義される semiring を考えている人もいる。Nitica と Sergeev の [NS15]
では, max-min semiring と呼ばれている。その論文の Introduction には, いくつかの参考文献も挙げられている。
Nitica と Sergeev は, max-min semiring を用いて tropical mathematics
の真似をしようとしているようである。
この tropical semiring のような加法に関し全ての元が idempotent である semiring とその上の
semimodule については, [CGQ04] がある。
Connes と Consani [CC11] は, \(1+1=1\) をみたす semiring を標数 \(1\) の semiring と呼んでいる。よって tropical
semiring は標数 \(1\) である。 Connes と Consani は, このことから \(\F _1\) との関係を調べている。
もっとも, 普通に代数をやるときにはこの大量の idempotent の存在が障害となるので, それを克服するために, Izhakian
[Izh09] が tropical semiring の改良を考えている。それが, Izhakian と Rowen [IR10; IR11a; IR11b]
により supertropical semiring として一般化されている。更に, [IKR14] では, layered supertropical
domain という一般化が考えられている。
代数的構造としては, まずはベクトル空間やアフィン空間が基本だろう。
そしてアフィン空間から各種空間が作られる。Tropical polytope や tropical hyperplane arrangement
も考えられる。
射影空間の tropical版の定義は, Mikhalkin と Zharkov の [MZ08] や Ansola と de la Puenta の
[AP09] などに書いてある。
- tropical projective space
より一般に, tropical algebraic variety を考えることができる。 Richter-Gebert と Sturmfels と
Theobald の [RST05] は, 代数幾何学の tropical版を目指すものである。
Tropical projective space や tropical Grassmannian については, Zare の [Zar]
をみるとよい。
Algebraic variety が tropical 化できると, 群の表現もtropical化できる。 Alessandrini の [Ale08] は,
群の表現の成す variety の tropical 化の試みである。
代数的な枠組みとしては, Durov の [Dur] がある。
References
-
[Ale08]
-
Daniele Alessandrini. “Tropicalization of group representations”.
In: Algebr. Geom. Topol. 8.1 (2008), pp. 279–307. arXiv:
math/0703608. url: https://doi.org/10.2140/agt.2008.8.279.
-
[AP09]
-
M. Ansola and M. J. de la Puente. “A note on tropical
triangles in the plane”. In: Acta Math. Sin. (Engl. Ser.)
25.11 (2009), pp. 1775–1786. arXiv: math/0701222. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s10114-009-7345-y.
-
[BS14]
-
Erwan Brugallé and Kristin Shaw. “A bit of tropical geometry”. In:
Amer. Math. Monthly 121.7 (2014), pp. 563–589. arXiv: 1311.2360.
url:
https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.121.07.563.
-
[CC11]
-
Alain Connes and Caterina Consani. “Characteristic 1, entropy and
the absolute point”. In: Noncommutative geometry, arithmetic, and
related topics. Baltimore, MD: Johns Hopkins Univ. Press, 2011,
pp. 75–139. arXiv: 0911.3537.
-
[CGQ04]
-
Guy Cohen, Stéphane Gaubert, and Jean-Pierre Quadrat.
“Duality and separation theorems in idempotent semimodules”.
In: vol. 379. Tenth Conference of the International Linear
Algebra Society. 2004, pp. 395–422. arXiv: math/0212294. url:
https://doi.org/10.1016/j.laa.2003.08.010.
-
[Dur]
-
Nikolai Durov. New Approach to Arakelov Geometry. arXiv:
0704.2030.
-
[IKR14]
-
Zur Izhakian, Manfred Knebusch, and Louis Rowen. “Layered
tropical mathematics”. In: J. Algebra 416 (2014), pp. 200–273. arXiv:
0912.1398. url:
https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2014.05.019.
-
[IR10]
-
Zur Izhakian and Louis Rowen. “Supertropical algebra”. In: Adv.
Math. 225.4 (2010), pp. 2222–2286. arXiv: 0806.1171. url:
https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.04.007.
-
[IR11a]
-
Zur Izhakian and Louis Rowen. “Supertropical matrix algebra”. In:
Israel J. Math. 182 (2011), pp. 383–424. arXiv: 0806.1178. url:
https://doi.org/10.1007/s11856-011-0036-2.
-
[IR11b]
-
Zur
Izhakian and Louis Rowen. “Supertropical matrix algebra II: solving
tropical equations”. In: Israel J. Math. 186 (2011), pp. 69–96. arXiv:
0902.2159. url: https://doi.org/10.1007/s11856-011-0133-2.
-
[Izh09]
-
Zur Izhakian. “Tropical arithmetic and matrix algebra”. In: Comm.
Algebra 37.4 (2009), pp. 1445–1468. arXiv: math/0505458. url:
https://doi.org/10.1080/00927870802466967.
-
[Jos22]
-
Michael Joswig. Essentials of tropical combinatorics. Vol. 219.
Graduate Studies in Mathematics. Providence, RI: American
Mathematical Society, 2022.
-
[MZ08]
-
Grigory Mikhalkin and Ilia
Zharkov. “Tropical curves, their Jacobians and theta functions”. In:
Curves and abelian varieties. Vol. 465. Contemp. Math. Providence,
RI: Amer. Math. Soc., 2008, pp. 203–230. arXiv: math/0612267.
url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/465/09104.
-
[NS15]
-
Viorel Nitica and Sergeı̆ Sergeev. “On the dimension of max-min
convex sets”. In:
Fuzzy Sets and Systems 271 (2015), pp. 88–101. arXiv: 1307.2853.
url: https://doi.org/10.1016/j.fss.2014.10.008.
-
[RST05]
-
Jürgen Richter-Gebert, Bernd Sturmfels, and Thorsten Theobald.
“First steps in tropical geometry”. In: Idempotent mathematics and
mathematical physics. Vol. 377. Contemp. Math. Providence, RI:
Amer. Math. Soc., 2005, pp. 289–317. arXiv: math/0306366.
-
[SS09]
-
David Speyer and Bernd Sturmfels. “Tropical mathematics”. In:
Math. Mag. 82.3 (2009), pp. 163–173. arXiv: math/0408099. url:
http://dx.doi.org/10.4169/193009809X468760.
-
[Zar]
-
Hadi Zare. Tropicalisation for Topologists. arXiv: 1105.5808.
|