Tropical algebraic geometry

Tropical (algebraic) geometry とは, その名の通り, tropical variety の研究を目的とした分野である。 とりあえずどういうものか知りたかったら, Mikhalkin の ICM 2006 の講演録 [Mik06] がある。Draisma の[Dra] で勧められている文献は, [BG84; EKL06; Mik04; PS05; RST05; SS04] である。 より新しい解説としては, Mikhalkin の lecture note [Mik] や Maclagan の [Mac] や Maclagan と Sturmfels により書かれた本 [MS15] がある。 Brugallé, Itenberg, Mikhalkin, Shaw の [Bru+] もある。

• tropical variety

Tropical variety あるいは tropical scheme の概念がどこまで確立しているのかよく知らないが, hypersurface の場合には, tropical polynomial の「零点」として定義することができる。このときの「零点」というのは, piecewise linear function である tropical polynomial が可微分でない点のことである。

Maclagan と Sturmfels の本などで扱われているのは, algebraic torus の subvariety を tropicalize してできるものが中心であるが, そのようなものは, Bergman fan と呼ばれるものになっているので, Bergman fan を研究する分野と言ってもよい。

• Bergman fan

Mikhalkin [Mik06] は, そのような “affine tropical variety” を貼り合わせたものを tropical variety と呼んでいる。更に Mikhalkinは, 未完成 の本の中で tropical algebra の sheaf を用いて tropical scheme を定義している。 この MathOverflow の質問 では, Durovの [Dur] との関係が聞かれているが, 誰も回答できないようである。

通常の代数幾何における概念や事実の類似が, どうなっているかというのは, 基本的な問題だろう。Hilbert の Nullstellensatz や Riemann-Roch の定理などの類似が考えられている。

• tropical Nullstellensatz (Shustin と Izhakian の [SI])
• tropical Riemann-Roch theorem (Gathmann と Kerber の [GK08])
• tropical projective space (Mikhalkin と Zharkov の [MZ08])
• tropical Jacobian (Mikhalkin と Zharkov の [MZ08])
• tropical elliptic curve の group law (Vigeland の [Vigb])
• tropical variety としての rational tropical curve の moduli space [Mik07]
• tropical intersection theory [AR10]

Gathmann と Kerber の tropical Riemann-Roch の定理は, Baker と Norine の finite graph に関する Riemann-Roch [BN07] を metric graph に拡張したものである。

単なるアナロジーというだけでなく, 実際に代数幾何の Riemann-Roch と tropical な (graph の) Riemann-Roch が深い関係にあることが M. Baker の [Bak08] で示されていて興味深い。

更に, Zharkov [Zha13] によると, 彼と Itenberg と Katzarkov と Mikhalkin との共著 [Ite+19] で tropical homology や cohomology が考えられているようである。

• tropical homology and cohomology

Shaw の [Sha] によると, Itenberg らが考えているのは, complex projective variety の Hodge decomposition の類似のようである。

特異点を持つ tropical variety も考えられている。Markwig らの [MMSa; MMSb] など。

Scheme の枠組みについては, Giansiracusa と Giansiracusa の [GG16] がある。その主結果の一つは, \(\F _1\)-toric scheme \(X\) を semiring \(S\) に値を持つ valuation を持つ環 \(R\) に base change したもの \(X_{R}\) の close subscheme から, \(S\) にbase change したもの \(X_{S}\) の closed subscheme への functor の構成である。 この \(\F _1\) との関係については, Connes と Consani [CC11] など, 様々な人が speculate しているが, このように具体的な形で関係が述べられるのは興味深い。

他にも様々なアプローチがあり, Lorscheid の [Lor23] の Introduction で History としてまとめられている。

Tropical curve の moduli space のホモトピー型は, Kozlov により [Koz09; Koz08; Koz11] などで調べられている。そこでは, meric graph の moduli space へ埋め込むことにより, topological combinatorics の道具を用いて調べられている。

もちろん, tropical geometry では代数幾何では不可能な現象が起こったりする。 Vigeland の [Viga] など。

Tropical geometry の応用としては, やはり Mikhalkin の [Mik06] を見るとよい。Toric surface 上の curve の数え上げの公式が有名な応用である。その一般化を Eric Katz [Kat] が考えている。

関連したものとしては, Welschinger invariant というものがある。Shustin [Shu06] によると, genus \(0\) Gromov-Witten invariant の類似である real rational algebraic surface の不変量らしい。

Dickenstein と Feichtner と Sturmfels の [DFS07] では, Gel\('\)fand-Kapranov-Zelevinsky の discriminant や resultant が tropical geometry を用いて調べられている。

Fock と Goncharov の [FG07] は, Riemann面上の lamination space は, Teichmüller space の tropical化である, と言っている。それにより Teichmüller space の compactification も考えられる。他に Alessanrini という人も [Ale] で Teichmüller space のコンパクト化を考えている。

ミラー対称性を調べるときにも, toric variety の場合は tropical geometry を使うとよいようである。Abouzaid の [Abo09] など。

References

[Abo09]

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[AR10]

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