Tropical Linear Algebra

線形代数の tropical化 としては, Develin と Santos と Sturmfels の [DSS05] がある。そこでは行列の rank として三種類のものが定義されている。Matroid の realizability が重要な役割を果すらしく, 興味深い。

• Barvinok rank
• Kapranov rank
• tropical rank

このような基底を fix した線形代数ではなく, 体上の加群としてのベクトル空間の類似が考えられないかと思うのは自然な疑問であるが, まだそれは見つかっていないようである。Speyer による troplical linear space の定義 [Spe08] があるが, これは linear subspace の定義である。

Semiring 上の semimodule の理論はそれなりに研究されているようなので, そちらの方から攻めれば定義が見つかりそうな気もするのだが。

Speyer [Spe08] が考えたのは, 全順序付き Abel群で weight の付いた matroid, つまり valuated matroid ([DT98]) への Bergman fan, あるいは matroid polytope の一般化である。そしてこれが valuated field 上の linear subspace の tropicalization の一般化になっていることを示したのである。そして, matroid polytope から valuated matroid が復元できることも示している。 よって valuated matroid と Speyerの意味の tropical linear space は同値になる。

• valuated matroid

また, Speyer の tropical linear space 自体, 様々なものと関係があり興味深い。Joswig と Sturmfels と Yu の [JSY07] によると以下のものと同値である:

• hypersimplex の matroid decomposition [Kap93]
• membrane [KT06]

Giansiracusa と Giansiracusa [GG18] は, ベクトル空間から外積代数を作る操作の tropical 版を考えている。

Gel\('\)fand と Kapranov と Zelevinsky の [GKZ94] の tropical 版としては, Dickensteinと Feichtner と Sturmfels の [DFS07] がある。

• tropical discriminant

References

[DFS07]

Alicia Dickenstein, Eva Maria Feichtner, and Bernd Sturmfels. “Tropical discriminants”. In: J. Amer. Math. Soc. 20.4 (2007), pp. 1111–1133. arXiv: math/0510126. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-07-00562-0.

[DSS05]

Mike Develin, Francisco Santos, and Bernd Sturmfels. “On the rank of a tropical matrix”. In: Combinatorial and computational geometry. Vol. 52. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005, pp. 213–242. arXiv: math/0312114.

[DT98]

Andreas Dress and Werner Terhalle. “The tree of life and other affine buildings”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. III (Berlin, 1998). Extra Vol. III. 1998, pp. 565–574.

[GG18]

Jeffrey Giansiracusa and Noah Giansiracusa. “A Grassmann algebra for matroids”. In: Manuscripta Math. 156.1-2 (2018), pp. 187–213. arXiv: 1510 . 04584. url: https://doi.org/10.1007/s00229-017-0958-z.

[GKZ94]

I. M. Gel\('\)fand, M. M. Kapranov, and A. V. Zelevinsky. Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 1994, pp. x+523. isbn: 0-8176-3660-9. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4771-1.

[JSY07]

Michael Joswig, Bernd Sturmfels, and Josephine Yu. “Affine buildings and tropical convexity”. In: Albanian J. Math. 1.4 (2007), pp. 187–211. arXiv: 0706.1918.

[Kap93]

M. M. Kapranov. “Chow quotients of Grassmannians. I”. In: I. M. Gel\('\) fand Seminar. Vol. 16. Adv. Soviet Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993, pp. 29–110. arXiv: alg-geom/9210002.

[KT06]

Sean Keel and Jenia Tevelev. “Geometry of Chow quotients of Grassmannians”. In: Duke Math. J. 134.2 (2006), pp. 259–311. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-06-13422-1.

[Spe08]

David E. Speyer. “Tropical linear spaces”. In: SIAM J. Discrete Math. 22.4 (2008), pp. 1527–1558. arXiv: math / 0410455. url: http://dx.doi.org/10.1137/080716219.