位相空間のK理論の基本

位相空間の \(K\)理論について学ぶには, 何を読むのがよいのだろうか。まずは Olsen と Szabo の [OS99] の §2 を見てみるのもよいかもしれない。 簡潔にまとめられているので。 主題は D-brane charge と \(K\)-theory の関係であるが。 もっとも, \(D\)-brane charge は \(K\)-homology の元として考えるのが良いようである。

有名なのは, Atiyah の本 [Ati67] や Karoubi の本 [Kar78] である。最近書かれたものでは, Dugger の [Dug] がある。まだ未完成らしいが。 Atiyah の本は, 日本語訳もある。

\(K\)理論について学ぶためには, まずその構成法を知る必要がある。 Atiyah と Hirzebruch [AH59] により \(K\)理論がトポロジーに導入されて以降, トポロジーでは様々な \(K\)理論の構成方法が発見されてきた。

• ベクトル束の同型類の成す Abelian monoid の group completion
• Compact Hausdorff space \(X\) の \(C^*\)環 \(C(X)\) 上の有限生成 projective module の成す Abelian monoid の group completion
• ホモトピー集合 \([X,\mathrm {BU}\times \Z ]\) もしく は \([X,\mathrm {BO}\times \Z ]\)
• 無限次元の separable Hilbert space \(H\) の上の Fredholm operator の成す空間 \(\mathrm {Fred}(H)\) を用いて, ホモトピー集合 \([X,\mathrm {Fred}(H)]\) と考える。 [Jän65; Ati67]
• 代数的\(K\)理論を用いた定義 (Michael Paluch の thesis [Pal91])

コンパクト Hausdorff 空間では, これらの構成は同じ群を与える。しかしながら, コンパクトでない場合には一般には違うものになる。例えば, 1番目と3番目の定義の違いについては, この MathOverflow の質問で議論されている。

空間対の \(K\)理論 \(K(X,A)\) は, Atiyah と Hirzebruch の論文 [AH59] で既に登場するが, そこでは \(\widetilde {K}(X/A)\) として定義される。 その幾何学的意味を考えるためには, Atiyah, Bott, Shapiro の [ABS64] のように, ベクトル束の列を用いて定義するのがよいだろう。

• ベクトル束の列による \(K(X,A)\) の定義。 ([ABS64] の Par II)
• その特別な場合としての, \(X\) 上のベクトル束 \(\xi _1\) と \(\xi _2\), そして, これらの \(A\) 上の同型 \(\alpha \) を用いた relative \(K\)-theory \(K(X,A)\) の定義。

代数的トポロジーにとって重要な事実は, \(K\)理論が コホモロジー論になるということである。 そのためには, Bott の周期性が必要である。

• Bott 周期性
• Bott の周期性を用いてコホモロジー論 \(K^*(X)\) と \(\mathrm {KO}^*(X)\) を定義すること
• \(K^*(X)\) と \(\mathrm {KO}^*(X)\) が可換な積を持つコホモロジー論になること

\(K^0(X)\) が bounded Fredholm operator の空間へのホモトピー集合として表現されることの類似で, \(K^1(X)\) を 作用素の空間へのホモトピーとして表現することもできる。Atiyah-Singer の [AS69] や [DK10] など。

位相空間の \(K\)-theory を調べる際には, Atiyah-Hirzebruch spectral sequence は基本的である。

• 位相空間の \(K\)理論の Atiyah-Hirzebruch filtration
• Atiyah-Hirzebruch spectral sequence
• 位相空間の \(K\)理論が filtered \(\lambda \)-ring になること。[Yau06]

Chromatic な視点からは, 素数 \(p\) に対し mod \(p\) \(K\)理論は Morava \(K\)-theory という一連のコホモロジー論の中の一つとみなすべきである。 このことに関しては次のことを知っておくとよい。 最初二つの分解に現われる成分を Adams summand という。

• 素数 \(p\) に対し \(K^*(X)_{(p)}\) の \(p-1\) 個の同型な成分への natural な分解 [Ada69]
• 素数 \(p\) に対し \(K^*(X;\Z /p\Z )\) の \(p-1\) 個の \(K(1)^*(X)\) への natural な分解 [Ada69]
• Morava \(K\)理論

\(K\)理論に関連の深い概念として, 特性類, 特に Chern class がある。

• Chern class
• Chern character

\(K\)-theory は, コホモロジー論として, spectrum で表現されるが, そのspectrum の構成には様々な方法がある。Hohnhold と Stolz と Teichner の [HST10] では, Bott periodicity に 現れる古典群を用いた空間列 も含め8つの方法が述べられている。Wang の [Wan] では, Segal の [Seg74] に書かれている例に基づく chain complex から作る方法が使われている。

これらは, 古典的な無限ループ空間列として \(K\)-theory spectrum を表現する空間列であるが, もちろん, 近代的な spectrum としての構成もある。

• Joachim による \(\mathrm {KO}\) を表現する symmetric spectrum の構成 [Joa01]
• Gaudens と Markert [GM] による connective \(K\)-theory を表現する spectrum の \(\Z /2\Z \)-equivariant symmetric ring spectrum としての構成

また以下のような性質が分かっている。

• \(K\)や\(\mathrm {KO}\) を表現する spectrum の \(E_{\infty }\) 構造の一意性 (Baker と Richter の[BR05])
• \(\mathrm {ku}\) や \(\mathrm {ko}\) を表現する spectrum の \(E_{\infty }\)構造の一意性 (Baker と Richter の [BR08])

References

[ABS64]

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[Ada69]

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[BR08]

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[Yau06]

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