結び目の空間

結び目の研究で, ホモトピー論に関係の深い方向としては, 結び目の空間のホモトピー型を調べる [Hat] というものもある。結び目の空間のホモロジーを調べてきたのは Vassiliev であるが。

• long knot の定義
• \(\mathcal{K}\) を \(\R ^3\) の中の long knot の成す空間とすると, \(\mathcal{K}\) には little \(2\)-cube operad が作用する。よって double loop spaceになる。(Budney [Bud])
• \(n>3\) に対しても \(\R ^n\) の中の long knot の空間には little \(2\)-cube operad が作用する。(Salvatore [Sal06])
• \(n>3\) に対し, \(\R ^n\) の中の framed long knot の空間にも little \(2\)-cube operad が作用する。(Budney [Bud07] と Sinha [Sin06])
• Vassilliev spectral sequence [Vas90; Vas92; Vas99]
• Vassiliev の finite type invariant
• graph complex (Cattaneo と Cotta-Ramusino と Longoni [CCL02])
• Kontsevich integral
• Sinha による long knot の空間の cosimplicial model [Sin09; Sin06]

Little \(2\)-cube の operad が作用することにより, ホモロジーに Poisson structure が得られる。これについては Sakai の [Sak08] で調べられている。

具体的な結び目の空間のホモロジーについての情報は, Budney と Fred Cohen が [BC09] で調べている。その最後の section には, 5つの問題が挙げられている。

Abbaspour と Chataur [AC13] は, \(S^1\) の \(S^n\) の埋め込みの空間や類似の空間を \(\mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{SO}(n-1)\) 上の fiber bundle とみなして, ホモロジーに Chas-Sullivan product と類似の積を定義している。

Sinha の方法は, Jeff Smith と McClure が Deligne予想を解決するのに使った cosimplicial な方法と Goodwillie calculus を使っているので面白い。Cosimplicial space の \(\mathrm{Tot}\) として構成されているので, cosimplicial space の ホモロジースペクトル系列や, ホモトピースペクトル系列などが使える。 その2つのスペクトル系列の比較を行っているのが, Lambrechts と Tourchine の [LT09] である。

どうして double loop space になるのかを理解するには, Sinha の構成の一般化を考えてみるのが一つの方法である。これについては, Dwyer と Hess の [DH12] が出た。Associativity operad から一般の (空間の category での) operad への morphism から作られた cosimplicial space の Tot は double loop space のホモトピー型を持つことを示している。彼等の次の論文 [DH] では, それを用いて \([0,1]\) の \(m\)個の disjoint union の \([0,1]^n\) への埋め込みの空間が調べられている。

Vassiliev の finite type invariant は, 様々な一般化が試みられている。 一般の\(3\)次元多様体の場合 [Vas98] や virtual knot などである。 Finite type invariant の解説としては, Bar-Natan の [Bar] や Le の [Le] がある。

組み紐の finite type invariant の成す algebra は, pure braid group の infinitisimal deformation とみなすことができる [Koh94], らしい。 この手の quadratic algebra が flag variety の (quamtum) cohomology にも現われるのは興味深い。それを調べたのが Anatol Kirillov の [Kir00] であり, Kirillov と Maeno の [KM04] である。

また, Vassiliev invariant と Lie algebra との関係を明確にしようというのが Hinich と Vaintrob の [HV02] である。

[CCL05] では, graph complex を用いて, \(\R \) や \(S^1\) の \(\R ^n\) への埋め込みの成す空間のコホモロジーが, 調べられている。より一般に, 多様体の埋め込みの成す空間を調べることも行なわれている。 Goodwillie calculus の手法が有効である。

Scannell と Sinha は, [SS02] で long knot の空間の rational homotopy group を計算する spectral sequence を構成している。その元になっている (\(E^1\)-term を与えている) のは configuration space の rational homotopy group である。Scannell と Sinha の論文の最後にある予想は, [Con08] で Conant が解決している。

Kontsevich integral の解説としては, Chmutov と Duzhin の [CD01] がある。

Kontsevich の graph complex (graphical calculus) を詳しく調べたものとして, Fiorenza と Ionescu の [FI05] がある。Hamilton は, その super-analogue を [Ham06] で考えている。

Budney ら [Bud+05] は, evaluation map を用いて configuration space に帰着させて調べている。

Knot の空間上の configuration space bundle を考えているのは, Koytcheff の [Koya] である。その目的は, configuration space integral をホモトピー論的に定義することである。Sinha の cosimplicial model や Goodwillie-Weiss の Taylor tower との関係についても, [Koyb] で考えられている。

Tourtchine (Turchin) は, [Tou] で long knot の空間の最初の nontrivial cocycle を調べている。また [Tou07] で Vassiliev spectral sequence と Sinha の spectral sequence の比較を行なっている。

Tourtchine は, 更に Lanbrechts と Volic と共に [LTV10] で \(d\ge 4\) の時の \(\R ^d\) の中の long knot の空間の rational homology を計算する Vassiliev spectral sequence が \(E^1\)-term で collapse することを示している。

Greg Arone との共著 [Aro+08] では, Sinha の cosimplicial model を用い, rational homotopy 群を計算する Bousfield-Kan spectral sequence が, \(E^2\)-term で collapse することを示している。

References

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