ある多様体の別の多様体への埋め込みを isotopy で分類するということは, 埋め込みのなす空間の \(\pi _0\) を考えていることである。埋め込み全体を位相空間として考え,
その性質を調べるための技術も確立されてきた。 \(1\)次元の多様体の\(3\)次元Euclid空間や\(3\)次元球面への埋め込みが knot や link
であるが, それらの成す空間の弧状連結成分を考えるのが, いわゆる古典的な結び目の理論である。弧状連結成分だけでなく,
そのホモトピー型を考えるのは自然な問題である。
結び目の一般化として, グラフの埋め込みが考えられることから, グラフの埋め込みの成す空間も考えられている。例えば, Galatius の
[Gal11] では, グラフの Euclid空間への埋め込みのなす空間が使われている。
3次元多様体については, Heegaard splitting の成す空間も考えることができるが, これも,
曲面の3次元多様体への埋め込みの成す空間と考えることができる。 J. Johnson と McCullough [JM] が調べている。
一般の埋め込みの成す空間についても, 様々な人が調べている。Skopenkov の [Skob] では, Browder の [Bro68],
Goodwillie と Weiss の 関手の微積分による方法が挙げてある。 また, survey として, Repovsh と Skopenkov の
[RS99] と Skopenkov の [Skoa] が挙げてある。
Budney の [Bud08] は, 球面の球面への埋め込みや, Euclid空間の Euclid空間への long embedding
の成す空間についての現況を知る上で有用である。参考文献も豊富である。
Arone と Lambrecht と Volic は, [ALV07] で, embedding の空間から immersion
の空間への自然な写像の homotopy fiber を調べている。
また, Boavida de Brito と Weissは, [BW] でより正確な embedding の空間と immersion
の空間の関係を得ている。 そこで使われているのは, configuration category という, 多様体の中の点配置を object とする
“category” である。ここで quotation mark を付けたのは, 実際には \((\infty ,1)\)-category として定義されているからである。より正確には
complete Segal spaceという simplicial spaceの一種であるが。
Connolly と Williams [CW78] は, finite complex の smooth manifold への embedding
を考えている。もっとも, finite complex のままでは “smoothness” が定義できないので, (境界を持つ) codimension 0
の smooth submanifold への写像でホモトピー同値になっているものを考えるという手段を取っている。 Peter [Pet] は
embedded thickening という一般化を考えている。
- smooth embedding up to homotopy
- (relative) embedded thickening の成す空間
References
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[ALV07]
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Gregory
Arone, Pascal Lambrechts, and Ismar Volić. “Calculus of functors,
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[Bud07]
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A. Skopenkov. Classification of embeddings below the metastable
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