余単体的空間のホモロジースペクトル系列

余単体的空間 \(X^*\) と spectrum \(E\) が与えられると, cosimplicial spectrum \(E\wedge X^*\) が得られる。この cosimplicial spectrum の homotopy spectral sequence を \(X^*\) の \(E\)-homology spectral sequence と呼ぶことにしよう。

もちろん cosimplicial object の homotopy spectral sequence の一種ではあるが, その起源および目的から, 別に扱う方がよいだろう。

代表的なのは, cobar 型の Eilenberg-Moore スペクトル系列である。

• cobar 型の Eilenberg-Moore スペクトル系列

もちろん cosimplicial space があれば, homology spectral sequence はいつでも作れるが, cobar 型の Eilenberg-Moore spectral sequence 以外で意味のあるものは以下のものだろう。

• Anderson による写像空間のホモロジーを計算する spectral sequence [And72]
• Bökstedt と Ottosen による cosimplicial resolution による free loop space の homology を計算する spectral sequence [BO05]
• Homotopy fixed point の homology spectral sequence [BR05]

多重ループ空間のホモロジー作用素との関係については, Hackney の [Hac14] がある。

References

[And72]

D. W. Anderson. “A generalization of the Eilenberg-Moore spectral sequence”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 78 (1972), pp. 784–786. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1972-13034-9.

[BO05]

Marcel Bökstedt and Iver Ottosen. “A spectral sequence for string cohomology”. In: Topology 44.6 (2005), pp. 1181–1212. arXiv: math/0411571. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2005.04.006.

[BR05]

Robert R. Bruner and John Rognes. “Differentials in the homological homotopy fixed point spectral sequence”. In: Algebr. Geom. Topol. 5 (2005), 653–690 (electronic). arXiv: math/0406081. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2005.5.653.

[Hac14]

Philip Hackney. “Homology operations and cosimplicial iterated loop spaces”. In: Homology Homotopy Appl. 16.1 (2014), pp. 1–25. arXiv: 1102.0020. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2014.v16.n1.a1.